Однорідні координати

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Однорідні координати — координати, що володіють властивістю, за якої об'єкт, що визначається цими координатами не змінюється при множенні всіх координат на одне і те ж число відмінне від нуля. Однорідні координати мають таке ж значення для проективної геометрії як декартові координати для Евклідової геометрії. Поняття однорідних координат було введене Августом Мебіусом у 1827 році у його роботі Der barycentrische Calcül,[1][2]

За допомогою однорідних координат, навіть координати нескінченно віддалених точок, можуть бути представлені за допомогою кінцевих координат. Формули записані в однорідних координатах найчастіше простіші та більш симетричні, ніж їх вирази в декартових координатах. Однорідні координати мають широкий спектр застосування, в тому числі в комп'ютерній графіці та в 3D комп'ютерному зорі, де вони дозволяють виконувати афінні перетворення і, загалом, проективні перетворення, можуть бути легко представлені у вигляді матриці.

Однорідні координати не задають однозначно точку простору. Наприклад, (1, 1, 1, 1) і (2, 2, 2, 2) задають одну і ту ж точку (1, 1, 1). При переході до однорідних координат для точки з координатами (x, у, z) пропонується узяти набір (x, у, z, 1). В процесі перетворень четверта координата w може змінюватися.

Зворотний перехід до декартових координат здійснюється за допомогою ділення на w-координату.

Матриці елементарних перетворень евклідового простору в однорідних координатах[ред.ред. код]

Нехай задана точка евклідового простору \mathbb{E}^3 з координатами (x,y,z). Їй ставиться у відповідність точка з однорідними координатами (x,y,z,1) з якою виконуються потрібні перетворення. Після цього отримані координати (x',y',z',w') переводяться у декартові координати \left(\frac{x'}{w'},\frac{y'}{w'},\frac{z'}{w'}\right).

Використання матричного запису дозволяє отримати економію в кількості зроблених операцій. Так як добуток матриць асоціативний, то можна спочатку обчислити необхідне перетворення як добуток матриць і тільки потім застосувати його до координат точок.


Паралельне перенесення: \underline{T} =  
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 & t_{x} \\
  0 & 1 & 0 & t_{y} \\
  0 & 0 & 1 & t_{z} \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
 \underline{T} \cdot (x,y,z,1)^T = (x+t_x, y+t_y, z+t_z,1)^T
Обертання навколо вісі x: \underline{R_{x}} =  
\begin{pmatrix}
  1     & 0           & 0            & 0 \\
  0     & \cos \alpha & -\sin \alpha  & 0 \\
  0     & \sin \alpha & \cos \alpha  & 0 \\
  0     & 0           & 0            & 1
\end{pmatrix}
Обертання навколо вісі y: \underline{R_{y}} =  
\begin{pmatrix}
  \cos \beta     & 0           & \sin \beta            & 0 \\
  0     & 1 & 0  & 0 \\
  -\sin \beta     & 0 & \cos \beta  & 0 \\
  0     & 0           & 0            & 1
\end{pmatrix}
Обертання навколо вісі z: \underline{R_{z}} =  
\begin{pmatrix}
  \cos \gamma     &  -\sin \gamma  & 0 & 0\\
  \sin \gamma     & \cos \gamma   & 0 & 0 \\
  0     & 0       & 1           & 0 \\
  0     & 0       & 0           & 1
\end{pmatrix}
Масштабування: \underline{S} =  
\begin{pmatrix}
  s_{x} & 0     & 0     & 0 \\
  0     & s_{y} & 0     & 0 \\
  0     & 0     & s_{z} & 0 \\
  0     & 0     & 0     & 1
\end{pmatrix}
 \underline{S} \cdot (x,y,z,1)^T = (s_x \cdot x, s_y \cdot y, s_z \cdot z,1)^T
Перспективне перетворення: \underline{P} =  
\begin{pmatrix}
  1	& 0     & 0     & 0 \\
  0     & 1     & 0     & 0 \\
  0     & 0     & 1     & 0 \\
  0     & 0     & \frac{1}{d} & 0
\end{pmatrix}
 \underline{P} \cdot (x,y,z,1)^T = ( x, y, z, \tfrac{z}{d})^T
Ортогональна проекція: \underline{P_{\mathrm{orth}, z=0}} =  
\begin{pmatrix}
  1	& 0     & 0     & 0 \\
  0     & 1     & 0     & 0 \\
  0     & 0     & 0     & 0 \\
  0     & 0     & 0     & 1 
\end{pmatrix}
 \underline{P_{\mathrm{orth}, z=0}} \cdot (x,y,z,1)^T = (x, y, 0, 1)^T

Посилання[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. August Ferdinand Möbius в архіві MacTutor
  2. Smith, David Eugene (1906). History of Modern Mathematics. J. Wiley & Sons. с. 53. 

Див. також[ред.ред. код]