Ознака Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ознака Діріхле  - в математиці один із методів визначення збіжності ряду, названий на честь німецького математика Діріхле.


Твердження і доведення[ред.ред. код]

Нехай виконуються такі умови:

Тоді ряд \sum_{n=1}^\infty a_nb_n є збіжним.

Доведення[ред.ред. код]

Із збіжності a_n до нуля маємо, що для будь-якого \epsilon > 0 існує N \in \mathbb N, що a_n < 0 виконується для всіх n > N. Також очевидно що:

b_{n+1}+b_{n+2}+\ldots+b_{n+p}=|B_{n+p}-B_n|\leq 2M

Тоді отримуємо:

\sum_{k=n+1}^{n+m}a_k b_k \leq 2M(|a_{n+1}|+2|a_{n+m}|) \leq 6M \epsilon

що й доводить твердження.


Ознака Діріхле для невласного інтегралу[ред.ред. код]

Нехай виконуються умови:

  • f(x)\in C[a,\;+\infty] і має на [a,\;+\infty] обмежену первісну F(x), тобто \exists M>0:\quad|F(x)|\leqslant M\quad\forall x>a;
  • функция g(x)\in C^1[a,\;+\infty],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad\forall x>a;
  • \lim_{x\to+\infty}g(x)=0.

Тоді \int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx існує.

  • Очевидно, також можна було визначити такі умови g(x)\in C^1[a,\;+\infty],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad\forall x>a.
  • Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.
\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x}\,dx=\infty.

Проте ця умова не є необхідною:

\int\limits_2^{+\infty}\frac{\sin x}{x+2\sin x}\,dx — сходиться.

Література[ред.ред. код]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.

Див. також[ред.ред. код]