Ознака д'Аламбера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів:

Якщо для числового ряду

\sum_{n=0}^\infty a_n

існує таке число q, 0 < q < 1, що починаючи з деякого номера виконується нерівність

\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,

то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера

\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \ge 1,

то ряд розбігається.

Зокрема, якщо існує границя

\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо \rho < 1, а якщо \rho > 1 — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі).

Приклади[ред.ред. код]

1. Ряд

\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}

абсолютно збіжний для всіх комплексних z, бо

\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right|
        = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,

2. Ряд

\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n

розбігається при всіх z\not=0, бо

\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right|
        = \lim |(n+1)z| = \infty.

3. Якщо \rho = 1, то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

\sum_{n=0}^\infty \frac 1 n     і     \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n^2}

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Історія[ред.ред. код]

Ознака встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]