Оператори народження та знищення

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.

Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення $\hat{a} \,$ відповідає оператор народження $\hat{a}^\dagger$.

Ферміони

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан $| 0 \rangle$, який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією $\psi$:

$\hat{a}^\dagger | 0 \rangle = |\psi \rangle$.

Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки $| \psi \rangle$, знищує частинку, переводячи систему в стан $| 0 \rangle$.

$\hat{a} |\psi\rangle = |0 \rangle$.

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

$\hat{a} | 0 \rangle = 0$.

Відповідно, дія оператора народження на стан $|\psi \rangle$, теж дає нуль.

$\hat{a}^\dagger |\psi\rangle = 0$.

Оператор народження й знищення задовлільняють наступному антикомутаційному співвідношенню

$\hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger = 1$.

Оператор числа частинок задається виразом

$\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$.

Вочевидь

$\hat{N} |0\rangle = 0; \qquad \hat{N} |\psi \rangle = 1 |\psi \rangle.$

Різні стани

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис $\psi_n = |n \rangle$. Оператори народження й знищення $\hat{a}_n^\dagger$ і $\hat{a}_n$ для різних станів комутують між собою.

$\hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime} - \hat{a}_{n^\prime} \hat{a}^\dagger_n = 0$ при $n \neq n^\prime$.

Будь-який квантовомеханічний оператор $\hat{A}$ можна записати у вигляді

$\hat{A} = \sum_{n,n^\prime} A_{n,n^\prime} \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime}$,

де

$A_{n, n^{\prime}} = \langle n | \hat{A} | n^\prime \rangle$ — матричний елемент оператора.

Гамільтоніан

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану $\hat{H}_0$:

$\hat{H}_0 | n \rangle = E_n | n \rangle$.

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V}$,

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

$\hat{H} = \sum_n E_n \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_n + \sum_{n,n^\prime} V_{n,n^\prime} \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime}$

Бозони

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.

Бозони є кватновим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану $| n \rangle$ можна ввести оператор кількості частинок $\hat{N}$, виходячи із співвідношення

$\hat{N}| n \rangle = n | n \rangle$.

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

$\hat{N} = a^\dagger a$.

Нульовий (вакуумний) стан $| 0 \rangle$ відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

$a^\dagger| 0 \rangle = | 1 \rangle$.

Відповідно, $a | 1 \rangle = | 0 \rangle$.

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням

$[a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = 1$.

Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.

Гамільтоніан поля має вигляд

$\hat{H} = \sum_{\mathbf{k}} \hbar \omega_{\mathbf{k}} \left( a^\dagger_{\mathbf{k}} a_{\mathbf{k}} + \frac{1}{2} \right)$,

де $\hbar$ — зведена стала Планка, $\mathbf{k}$ — хвильовий вектор, $\omega_{\mathbf{k}}$ — частота хвилі з хвильовим вектором $\mathbf{k}$. Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.

Джерела

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.