Оператор Казиміра

В математиці Інваріант Казиміра або Оператор Казиміра - це значний елемент центру алгебри Лі. Прикладом є квадрат оператора кутового моменту, що є інваріантом Казиміра 3-вимірної групи обертань — SO(3).

Визначення

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — $n$-вимірна напівпроста алгебра Лі. Нехай $\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$ — будь-який базис ${\mathfrak {g}}$, а $\{X^{i}\}_{i=1}^{n}$ — дуальний базис, по відношенню до фіксованої інваріантної білінійної форми (наприклад, формі Кіллінга) на ${\mathfrak {g}}$. Елемент Казиміра $\Omega$ — це елемент універсальної згортаючої алгебри, що визначається формулою

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.$

Попри те, що визначення елементу Казиміра відноситься до конкретного вибору базису в алгебрі Лі, легко показати, що отриманий елемент $\Omega$ не залежить від цього вибору. Більше того, інваріантність білінійної форми, що була використана у визначенні, має на увазі, що елемент Казиміра комутує з усіма елементами алгебри ${\mathfrak {g}}$, і, відповідно, лежить в центрі універсальної згортаючої алгебри $U({\mathfrak {g}}).$

Будь-якому представленню $\rho$ алгебри ${\mathfrak {g}}$ у векторному просторі V, можливо нескінченновимірному, відповідає інваріант Казиміра $\rho (\Omega )$, лінійний оператор у V, що задається формулою

$\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).$

Частинний випадок даної конструкції грає важливу роль в диференціальній геометрії і загальному аналізі. Якщо зв'язана група Лі G з алгеброю Лі ${\mathfrak {g}}$ діють на диференційовному многовиді M, то елементи ${\mathfrak {g}}$ представляються диференціальними операторами першого порядку на M. Представлення $\rho$ діє у просторі гладких функцій на M. В такій ситуації інваріант Казиміра — це G-інваріантний диференціальний оператор другого порядку на M, що визначається з вищеприведеної формули.

Можуть бути визначені також загальніші інваріанти Казиміра. Зазвичай вони зустрічатьються при вивченні псевдо-диференціальних операторів і теорії Фредгольма.

Властивості

Оператор Казиміра — це член алгебри всіх диференціальних операторів, що комутують з усіма генераторами в алгебрі Лі.

Число незалежних елементів центру універсальної згортаючої алгебри також є рангом у випадку напівпростої алгебри Лі. Оператор Казиміра дає поняття Лапласіана на загальних напівпростих групах Лі; але такий шлях показує, що може існувати не єдиний аналог Лапласіана, для рангу >1.

За визначенням, будь-який член центру універсальної згортаючої алгебри комутує з усіма іншими елементами в алгебрі. Відповідно до леми Шура в довільному незвідному представленні алгебри Лі оператор Казимира є пропорційним до тотожності. Цей коефіцієнт пропорційності може бути використаний для класифікації представлень алгебри Лі (а, відповідно, також її групи Лі). Фізична маса і спін — приклади таких коефіцієнтів, як і багато інших квантових чисел, що використовуються в квантовій механіці. Зовнішньо, топологічні квантові числа являють собою винятки з цієї моделі, хоча більш глибокі теорії наводять на думку, що це дві грані одного явища.

Приклад: so(3)

Алгебра Лі ${\mathfrak {so}}(3)$ відповідає SO(3), групі обертів 3-вимірного евклідового простору. Вона є напівпростою рангу 1 і тому має єдиний незалежний інваріант Казиміра. Форма Кіллінга для групи обертів — це лише символ Кронекера, а інваріант Казиміра — просто сума квадратів генераторів $L_{x},\,L_{y},\,L_{z}$ даної алгебри. Тобто, інваріант Казиміра задається формулою

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$

В незвідному представленні, інваріантність оператора Казиміра припускає його кратність одиничному елементу e алгебри, так що

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.$

У квантовій механіці, скалярне значення $\ell$ відноситься до повного моменту кількості руху. Для скінченновимірних матричнозначних представлень групи обертань, $\ell$ завжди ціле (для бозонних представлень) або напівцілим (для ферміонних представлень).

Для даного числа $\ell$, матричне представлення $(2\ell +1)$-вимірне. Так, наприклад, 3-вимірне представлення so(3) відповідає $\ell \,=\,1$, і задається генераторами

$L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Тоді інваріант Казиміра:

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},$

оскільки $\ell (\ell +1)\,=\,2$ при $\ell \,=\,1$. Таким самим чином 2-вимірне представлення має базис, що задається матрицями Паулі, які відповідають спіну 1/2.

Власні значення

Враховуючи, що $\Omega$ займає центральне місце в згортаючій алгебрі, вона діє скаляром на прості модулі. Нехай $\langle ,\rangle$ буде нашою білінійною симетричною невиродженою формою, за допомогою якої ми визначаємо $\Omega$. Нехай $L(\lambda )$ буде скінченновимірним модулем найбільшого значення, вагою $\lambda$. Тоді елемент Казиміра $\Omega$ діє на $L(\lambda )$ на відміну від $\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle ,$ де $\rho$ визначається як півсума додатних коренів.

Джерела

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. — New York : Springer-Verlag, 1978. — ISBN 5-9221-0055-6.