Оператор Казиміра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці Інваріант Казиміра або Оператор Казиміра - це значний елемент центру алгебри Лі. Прикладом є квадрат оператора кутового моменту, що є інваріантом Казиміра 3-вимірної групи обертань (SO(3)).

Визначення[ред.ред. код]

Нехай \mathfrak{g}n-вимірна напівпроста алгебра Лі. Нехай \{X_i\}_{i=1}^n — будь-який базис \mathfrak{g}, а \{X^i\}_{i=1}^n — дуальний базис, по відношенню до фіксованої інваріантної білінійної форми (наприклад, формі Кіллінга) на \mathfrak{g}. Елемент Казиміра \Omega — це елемент універсальної згортаючої алгебри, що визначається формулою

\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.

Попри те, що визначення елементу Казиміра відноситься до конкретного вибору базису в алгебрі Лі, легко показати, що отриманий елемент \Omega не залежить від цього вибору. Більше того, інваріантність білінійної форми, що була використана у визначенні, має на увазі, що елемент Казиміра комутує з усіма елементами алгебри \mathfrak{g}, і, відповідно, лежить в центрі універсальної згортаючої алгебри U(\mathfrak{g}).

Будь-якому представленню \rho алгебри \mathfrak{g} у векторному просторі V, можливо нескінченновимірному, відповідає інваріант Казиміра \rho(\Omega), лінійний оператор у V, що задається формулою

\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).

Частинний випадок даної конструкції грає важливу роль в диференціальній геометрії і загальному аналізі. Якщо зв'язана група Лі G з алгеброю Лі \mathfrak{g} діють на диференційовному многовиді M, то елементи \mathfrak{g} представляються диференціальними операторами першого порядку на M. Представлення \rho діє у просторі гладких функцій на M. В такій ситуації інваріант Казиміра — це G-інваріантний диференціальний оператор другого порядку на M, що визначається з вищеприведеної формули.

Можуть бути визначені також загальніші інваріанти Казиміра. Зазвичай вони зустрічатьються при вивченні псевдо-диференціальних операторів і теорії Фредгольма.

Властивості[ред.ред. код]

Оператор Казиміра — це член алгебри всіх диференціальних операторів, що комутують з усіма генераторами в алгебрі Лі.

Число незалежних елементів центру універсальної згортаючої алгебри також є рангом у випадку напівпростої алгебри Лі. Оператор Казиміра дає поняття Лапласіана на загальних напівпростих групах Лі; але такий шлях показує, що може існувати не єдиний аналог Лапласіана, для рангу >1.

За визначенням, будь-який член центру універсальної згортаючої алгебри комутує з усіма іншими елементами в алгебрі. Відповідно до леми Шура в довільному незвідному представленні алгебри Лі оператор Казимира є пропорційним до тотожності. Цей коефіцієнт пропорційності може бути використаний для класифікації представлень алгебри Лі (а, відповідно, також її групи Лі). Фізична маса і спін — приклади таких коефіцієнтів, як і багато інших квантових чисел, що використовуються в квантовій механіці. Зовнішньо, топологічні квантові числа являють собою винятки з цієї моделі, хоча більш глибокі теорії наводять на думку, що це дві грані одного явища.

Приклад: so(3)[ред.ред. код]

Алгебра Лі \mathfrak{so}(3) відповідає SO(3), групі обертів 3-вимірного евклідового простору. Вона є напівпростою рангу 1 і тому має єдиний незалежний інваріант Казиміра. Форма Кіллінга для групи обертів — це лише символ Кронекера, а інваріант Казиміра — просто сума квадратів генераторів L_x,\, L_y,\, L_z даної алгебри. Тобто, інваріант Казиміра задається формулою

L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2.

В незвідному представленні, інваріантність оператора Казиміра припускає його кратність одиничному елементу e алгебри, так що

L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell(\ell+1)e.

У квантовій механіці, скалярне значення \ell відноситься до повного момента кількості руху. Для скінченновимірних матричнозначних представлень групи обертань, \ell завжди ціле (для бозонних представлень) або напівцілим (для ферміонних представлень).

Для даного числа \ell, матричне представлення (2\ell+1)-вимірне. Так, наприклад, 3-вимірне представлення so(3) відповідає \ell\,=\,1, і задається генераторами


L_x=
\begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
0& 0& -1\\
0& 1& 0
\end{pmatrix},
L_y=
\begin{pmatrix}
0& 0& -1\\
0& 0& 0\\
1& 0& 0
\end{pmatrix},
L_z=
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
1& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}.

Тоді інваріант Казиміра:

L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2= 2
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix},

оскільки \ell(\ell+1)\,=\,2 при \ell\,=\,1. Таким самим чином 2-вимірне представлення має базис, що задається матрицями Паулі, які відповідають спіну 1/2.

Власні значення[ред.ред. код]

Враховуючи, що \Omega займає центральне місце в згортаючій алгебрі, вона діє скаляром на прості модулі. Нехай \langle,\rangle буде нашою білінійною симетричною невиродженою формою, за допомогою якої ми визначаємо \Omega. Нехай L(\lambda) буде скінченновимірним модулем найбільшого значення, вагою \lambda. Тоді елемент Казиміра \Omega діє на L(\lambda) на відміну від \langle \lambda, \lambda + 2 \rho \rangle, де \rho визначається як півсума додатніх коренів.

Джерела[ред.ред. код]

  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. — New York: Springer-Verlag, 1978. — ISBN 5-9221-0055-6