Оператор Лапласа

Опера́тор Лапла́са — дія над склалярним або векторним полем, що визначається, як сума других часткових похідних по кожній декартовій координаті. Позначається $\ \Delta$ або $\nabla^2$.

Для тривимірного простору

$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

Оператор Лапласа часто використовуєтсья в математичній і теоретичній фізиці.

Справедливе співвідношення:

$\Delta = \nabla^2 = \text{div}\;\nabla$.

Названий на честь французького математика Лапласа.

Оператор Лапласа в криволінійних системах координат

Циліндрична система координат

$\Delta = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \rho \frac{\partial}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$.

Сферична система координат

$\Delta = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}$

Застосування

За допомогою даного оператора зручно записувати рівняння Лапласа, Пуассона і хвильове рівняння. У фізиці оператор Лапласа застосовується в електростатиці і електродинаміці, в багатьох рівняннях фізики суцільних середовищ, а також при вивченні рівноваги мембран, плівок або поверхонь розділу фаз з поверхневим натягом (див. Лапласовий тиск), у стаціонарних задач дифузії та теплопровідності, які зводяться неперервним граничним переходом до звичайних рівнянь Лапласа або Пуассона чи до деяких їх узагальнень.

Дивіться також

• Оператор Гамільтона
• Даламбертіан

Джерела

• Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.