Оператор імпульсу

Оператор імпульсу - квантовомеханічний оператор, відповідний імпульсу в класичній механіці, який визначається формулою

$\hat{\mathbf{p}} = - i\hbar\nabla$,

де $\hbar$ - зведена стала Планка, $\nabla$ - оператор Гальмільтона, i - уявна одиниця.

Власні функції та власні значення

Власними функціями оператора імпульсу є функції

$\psi_\mathbf{k}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$,

де $\mathbf{k}$ - дійсний вектор, який називають хвильовим вектором.

$\hat{\mathbf{p}} \psi_\mathbf{k}(\mathbf{r}) = \hbar \mathbf{k} \psi_\mathbf{k}(\mathbf{r})$,

тому власні значення оператора імпульсу $\hbar \mathbf{k}$. Значення хвильового вектора також відіграє роль квантового числа, яким можна індексувати хвильові функції.

Комутаційні співвідношення

Для кожної з компонент оператора імпульсу справедливо:

$\hat{p}_x (x\phi(x)) = -i\hbar \phi(x) + x \hat{p}_x \phi(x)$,

де $\phi(x) \,$ - будь-яка функція.

Тому:

$[x, \hat{p}_x] = x\hat{p}_x - \hat{p}_x x = i\hbar$.

Це комутаційне співвідношення центральне для квантової механіки - з нього виводяться усі інші. Різні компоненти оператора імпульсу комутують між собою, а також із «не своїми» координатами, наприклад:

$[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = 0$,

$[x, \hat{p}_y] = x\hat{p}_y - \hat{p}_y x = 0$.

Джерела

• Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К.: Знання, 2009. — 559 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.