Оператор імпульсу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Оператор імпульсу - квантовомеханічний оператор, відповідний імпульсу в класичній механіці, який визначається формулою

 \hat{\mathbf{p}} = - i\hbar\nabla ,

де  \hbar - зведена стала Планка,  \nabla - оператор Гальмільтона, i - уявна одиниця.

Власні функції та власні значення[ред.ред. код]

Власними функціями оператора імпульсу є функції

 \psi_\mathbf{k}(\mathbf{r})  = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} ,

де  \mathbf{k} - дійсний вектор, який називають хвильовим вектором.

 \hat{\mathbf{p}} \psi_\mathbf{k}(\mathbf{r}) = \hbar \mathbf{k} \psi_\mathbf{k}(\mathbf{r}) ,

тому власні значення оператора імпульсу  \hbar \mathbf{k} . Значення хвильового вектора також відіграє роль квантового числа, яким можна індексувати хвильові функції.

Комутаційні співвідношення[ред.ред. код]

Для кожної з компонент оператора імпульсу справедливо:

 \hat{p}_x (x\phi(x)) = -i\hbar \phi(x) + x \hat{p}_x \phi(x),

де  \phi(x) \, - будь-яка функція.

Тому:

 [x, \hat{p}_x] = x\hat{p}_x - \hat{p}_x x = i\hbar .

Це комутаційне співвідношення центральне для квантової механіки - з нього виводяться усі інші. Різні компоненти оператора імпульсу комутують між собою, а також із «не своїми» координатами, наприклад:

 [\hat{p}_x, \hat{p}_y] = 0 ,
 [x, \hat{p}_y] = x\hat{p}_y - \hat{p}_y x = 0 .

Джерела[ред.ред. код]

  • Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К.: Знання, 2009. — 559 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.