Опукла функція

Опукла функція однієї змінної

Опукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

$f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)$

при всіх λ ∈ [0, 1].

Нехай область визначення опуклої функції f(x) лежить в скінченовимірному просторі, тоді f(x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій

Нехай x₁, ..., x_m — будь які точки із області визначення опуклої функції f(x), λ₁, ..., λ_m — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді

$f \left(\sum_{i=1}^m\lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^m \lambda_i f(x_i)$.

Якщо f(x) — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних невід'ємно визначена.

Джерела інформації

• Енциклопедія кібернетики, Пшенічний Б. Н., т. 1, ст. 198.

Див. також

• Увігнута функція
• Точка перегину
• Опукла множина
• Задача опуклого програмування
• Квазіопукла функція
• Субдиференціал