Ортогональні поліноми

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ортогональні поліноми або ортогональні многочлени — послідовність поліномів n-го порядку  f_n(x) , заданих на відрізку [a, b], що задовольняє умовам

 \int_a^b w(x)f_n(x) f_m(x)dx = 0

для будь-яких  n \neq m .

Функція  w(x) називається ваговою функцією. Разом із межами відрізка вона визначає сукупність ортогональних многочленів із точністю до сталих множників. Вибір конкретної форми цих множників називається стандратизацією. Для визначення, на цій сторінці вводиться позначення:

 \int_a^b w(x)f_n(x) f_n{x}dx = h_n .

Кожен із многочленів має вигляд:

 f_n(x) = k_nx^n + k_{n}^\prime x^{n-1} + \ldots  , де  n = 0, 1, 2, \ldots .

Диференціальне рівняння[ред.ред. код]

Ортогональні поліноми задовольняють диференціальному рівнянню:

 g_2(x) f_n^{\prime\prime}(x) + g_1(x)f_n^\prime(x) + a_n f_n = 0 ,

де  g_2(x) та  g_1(x) не залежать від n, а  a_n - стала, яка залежить лише від n.

Рекурентна формула[ред.ред. код]

 f_{n+1} = (a_n + x b_n)f_n - c_n f_{n-1} \, ,

де

 b_n = \frac{k_{n+1}}{k_n}, \qquad a_n = b_n \left( \frac{k_{n+1}^\prime}{k_{n+1}} - \frac{k_{n}^\prime}{k_{n}} \right), \qquad c_n = \frac{k_{n+1}k_{n-1} h_n}{k_n^2h_{n-1}}  .

Формула Родріга[ред.ред. код]

 f_n = \frac{1}{e_n w(x)} \frac{d^n}{dx^n} (w(x) (g(x))^n) ,

де  g(x) — певний поліном.

Література[ред.ред. код]

  • Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, т. 2 - Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974
  • Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Д., 1950
  • Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., Москва, 1962