Параболоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Параболоїд обертання

Параболоїд — тип поверхні другого порядку.

Рівняння[ред.ред. код]

Типи параболоїдів[ред.ред. код]

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

~z= ax^2+by^2
  • якщо a і b мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
  • якщо a і b мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
  • якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїд[ред.ред. код]

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями x, y і z, еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням


z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}.

де a і b — константи, що визначають кривизну в площинах x-z і y-z відповідно.

Гіперболічний параболоїд[ред.ред. код]

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням


z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}.

Властивості[ред.ред. код]

Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

Кривина[ред.ред. код]

Еліптичний параболоїд, що параметризований як

 \vec \sigma(u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} + {v^2 \over b^2}\right)

має Ґаусову кривину

 K(u,v) = {4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2}

і середню кривину

 H(u,v) = {a^2 + b^2 + {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}}

обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.

Гіперболічний параболої параметризований як

 \vec \sigma (u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} - {v^2 \over b^2}\right)

має Ґаусову кривину

 K(u,v) = {-4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2}

і середню кривину

 H(u,v) = {-a^2 + b^2 - {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}}.

Таблиця множення[ред.ред. код]

Чіпси Прінглз — це приклад гіперболічного параболоїду

Якщо гіперболічний параболоїд

 z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}

обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня

 z = {1\over 2} (x^2 + y^2) \left({1\over a^2} - {1\over b^2}\right) + x y \left({1\over a^2}+{1\over b^2}\right)

і якщо \ a=b тоді вираз спрощується до

 z = {2\over a^2} x y .

Нарешті, прирівнюючи  a=\sqrt{2} , можна бачити, що гіперболічний параболоїд

 z = {x^2 - y^2 \over 2}.

є конгруентним до поверхні

\ z = x y

що може бути геоментричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.

Дві параболоїдні \mathbb{R}^2 \rarr \mathbb{R} функції

 z_1 (x,y) = {x^2 - y^2 \over 2}

і

\ z_2 (x,y) = x y

є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію

 f(z) = {1\over 2} z^2 = f(x + i y) = z_1 (x,y) + i z_2 (x,y)

яка є аналітичним продовженням \mathbb{R}\rarr \mathbb{R} parabolic function \ f(x) = {1\over 2} x^2.

Параболоїди в природі та техніці[ред.ред. код]

Дах вокзалу в Варшаві має форму гіперболічного параболоїда

Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній вісі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.

Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві.

Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.

Посилання[ред.ред. код]


Див. також[ред.ред. код]