Параболоїд

Параболоїд обертання

Параболоїд — тип поверхні другого порядку.

Рівняння

Типи параболоїдів

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

$~z= ax^2+by^2$

• якщо $a$ і $b$ мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
• якщо $a$ і $b$ мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
• якщо один з коефіціентів дорівнює нулю, то параболоїд хветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями $x$, $y$ і $z$, еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням

$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}.$

де $a$ і $b$ — константи, що визначають кривизну в площинах $x$-$z$ і $y$-$z$ відповідно.

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням

$z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}.$

Властивості

Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

Кривина

Еліптичний параболоїд, що параметризований як

$\vec \sigma(u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} + {v^2 \over b^2}\right)$

має Ґаусову кривину

$K(u,v) = {4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2}$

і середню кривину

$H(u,v) = {a^2 + b^2 + {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}}$

обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.

Гіперболічний параболої параметризований як

$\vec \sigma (u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} - {v^2 \over b^2}\right)$

має Ґаусову кривину

$K(u,v) = {-4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2}$

і середню кривину

$H(u,v) = {-a^2 + b^2 - {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}}.$

Таблиця множення

Чіпси Прінглз — це приклад гіперболічного параболоїду

Якщо гіперболічний параболоїд

$z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}$

обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня

$z = {1\over 2} (x^2 + y^2) \left({1\over a^2} - {1\over b^2}\right) + x y \left({1\over a^2}+{1\over b^2}\right)$

і якщо $\ a=b$ тоді вираз спрощується до

$z = {2\over a^2} x y$.

Нарешті, прирівнюючи $a=\sqrt{2}$, можна бачити, що гіперболічний параболоїд

$z = {x^2 - y^2 \over 2}.$

є конгруентним до поверхні

$\ z = x y$

що може бути геоментричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.

Дві параболоїдні $\mathbb{R}^2 \rarr \mathbb{R}$ функції

$z_1 (x,y) = {x^2 - y^2 \over 2}$

і

$\ z_2 (x,y) = x y$

є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію

$f(z) = {1\over 2} z^2 = f(x + i y) = z_1 (x,y) + i z_2 (x,y)$

яка є аналітичним продовженням $\mathbb{R}\rarr \mathbb{R}$ parabolic function $\ f(x) = {1\over 2} x^2.$

Параболоїди в природі та техніці

Дах вокзалу в Варшаві має форму гіперболічного параболоїда

Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній вісі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.

Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві.

Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.

Див. також

• Еліпсоїд
• Гіперболоїд