Парадокс Банаха — Тарського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Кулю можна «розбити» на шматки і зібрати з них дві таких самих кулі.

Парадокс Банаха — Тарського, або парадокс подвоєння кулі, стверджує, що тривимірна куля рівноскладена двом своїм копіям.

Дві підмножини евклідового простору називаються рівноскладеними, якщо одну можна розбити на скінченне число «шматків» і скласти з них другу. При цьому для подвоєння кулі достатньо п'яти шматків, але чотирьох недостатньо.

Точніше, дві множини A і B є рівноскладеними, якщо їх можна представити як скінченне об'єднання підмножин без перетинів A=\bigcup_i ^nA_i, B=\bigcup_i^n B_i так, що для кожного i підмножина A_i конгруентна B_i.

Вірний також сильніший варіант парадоксу:

Будь-які дві обмежені підмножини евклідового простору з непорожньою внутрішністю є рівноскладеними.

Зважаючи на свою неправдоподібність, цей парадокс часто використовується як аргумент проти прийняття аксіоми вибору, яка істотно використовується при побудові такого розбиття. Прийняття відповідної альтернативної аксіоми дозволяє довести неможливість зазначеного розбиття, не залишаючи місця для цього парадоксу.

Парадокс був відкритий в 1926 році Стефаном Банахом і Альфредом Тарським. Дуже схожий на більш ранній парадокс Хаусдорфа, і його доведення засноване на тій же ідеї. Тому більш правильно називати парадоксом Хаусдорфа - Банаха - Тарського.

Значення для теорії міри[ред.ред. код]

Розділяючи кулю на скінченне число частин, ми інтуїтивно очікуємо, що, складаючи ці частини разом, можна отримати тільки суцільні фігури, об'єм яких в сумі рівний об'єму вихідної кулі. Однак це справедливо лише в разі, коли куля ділиться на частини, що мають об'єм. Суть парадоксу полягає в тому, що в тривимірному просторі існують невимірні множини, які не мають об'єму, якщо під об'ємом ми розуміємо те, що має властивість адитивності, і припускаємо, що об'єми двох конгруентних множин є рівними. Очевидно, що «шматки» у такому розбитті не можуть бути вимірними (і неможливо здійснити таке розбиття будь-якими засобами на практиці).

Для плоского кола аналогічна теорема невірна. Більш того, Банах показав, що на площині поняття площі може бути продовжено на всі обмежені множини як скінченно-адитивна міра, інваріантна щодо рухів; зокрема, будь-яка множина, рівноскладена кругу, має ту ж площу. Хаусдорф показав, що подібне зробити не можна на двовимірній сфері, і, отже, в тривимірному просторі, і парадокс Банаха - Тарського дає цьому наочну ілюстрацію.

Тим не менш, деякі парадоксальні розбиття можливі й на площині: круг можна розбити на скінченне число (вистачає 1050) частин і скласти з них квадрат рівної площі[1][2], при цьому можливо зрушувати частини тільки за допомогою паралельних перенесень (див. Квадратура круга Тарского (англ.)).

Посилання[ред.ред. код]

  1. Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117.
  2. Miklos Laczkovich: "Paradoxical decompositions: a survey of recent results." First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.

Література[ред.ред. код]