Парадокс Кантора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Парадокс Кантора — парадокс, сформульований Георгом Кантором, який демонструє, що припущення про існування множини всіх множин, веде до протиріч. Парадокс показує недосконалість та суперечливість наївної теорії множин.

Як виникає парадокс?[ред.ред. код]

Кантор виходив з того, що кожна множина А повинна володіти деякою «потужністю». Під «потужністю» він розумів кількісну характеристику множини. Потужність множини А Кантор позначив через \ddot{A}, відзначаючи двома точками, що вона виходить в результаті подвійної абстракції: абстракції від природи елементів та абстракції від їх порядку. Безліч всіх підмножин даної множини А (званих також булеаном множини А) позначено через Р (А). Кантор довів, що \forall A(\ddot{A}<\ddot{P(A)}). Розглянемо тепер множину всіх множин, назвемо її «універсумом» і позначимо через U. З наведеної вище теореми при А = U отримаємо, що \ddot{U}<\ddot{P(U)}.

З іншого боку, оскільки U — це множина всіх множин, то вона повинна володіти максимальною потужністю, і, значить,\ddot{P(U)}<\ddot{U}. Виникло протиріччя.

В уявній нерозв'язності цієї суперечності і полягає парадокс Кантора. Насправді цей парадокс все ж вирішуваний. Справа в тому, що ми неявним чином припустили, що універсум U є такою ж множиною, як і всі інші множини, і тому теж володіє деякою потужністю.

Протиріччя ж показує, що воно ніякої потужністю володіти не може. Значить, універсум U множиною не є. U — це об'єкт, який належить до іншого ієрархічного рівня.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]