Парадокс Ґреллінґа-Нельсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Парадокс Ґреллінга-Нельсона сформульовано в 1908 Куртом Ґреллінґом та Леонардом Нельсоном, часом його авторство помилково приписують німецькому філософу та математику Герману Вайлю, та використовують термін "парадокс Вайля". Цей парадокс аналогічний парадоксові Цирульника, парадоксові брехуна, та парадоксові Рассела.

Означення[ред.ред. код]

Визначимо атрибути "автологічний" (використовують також синонім бларді (en:blardy)) і "гетерологічний" таким чином:

  • Слово є автологічним тоді і тільки тоді, коли воно описує самого себе.
Наприклад, багатоскладовий є автологічним.
  • Слово є гетерологічним тоді і тільки тоді, коли воно не описує самого себе.
Наприклад, односкладовий є гетерологічним.

Парадокс полягає в наступному: чи є слово "гетерологічний" гетерологічним?

Запитання не має відповіді:

якщо так, тоді воно є автологічним (описує самого себе), а отже НЕ гетерологічним;
якщо ні, то воно є гетерологічним за визначенням.

Формально-множинне означення та наслідки для теорії множин[ред.ред. код]

Скористаємось для зручності синонімом бларді для автологічний. Це штучне слово було винайдене саме для демонстрації парадоксу Ґреллінга-Нельсона.

У термінах теорії множин, бларді можна визначити таким чином: для властивості x, нехай S(x) це множина слів або фраз S така, що всі вони посідають властивість x:

  1. S("багатоскладовий") множина всіх багатоскладових слів, тоді S("багатоскладовий")={багато, велосипед,...}.
  2. Подібним чином, S("римується із Ківалов")={Кідалов,...}.

Атрибут x є бларді якщо x \in S(x), та антибларді якщо x \notin S(x)

Теорема: Існують слова що не є ні бларді, ані антибларді. Приклад: "бларді".

Доведення від супротивного: Припустимо, "бларді" є бларді. Тоді S(бларді) містить "бларді". Тоді "антибларді" належить S(антибларді), і звідси є по означенню бларді. Отже, "антибларді" є і бларді і антибларді, що є суперечністю.

Тепер припустимо, що "бларді" є антибларді. Тоді "антибларді" не є антибларді, а отже бларді. По означенню, S(антибларді) тоді містить "антибларді", отже "антибларді" є як антибларді так і бларді знову, що є суперечністю.

Дана теорема доводить неможливість розбиття множини на підмножини що містять самі себе та підмножини що не містять самі себе. Дивись також парадокс Рассела.

Приклади[ред.ред. код]

Гетерологічні слова/вирази[ред.ред. код]

Автологічні слова/вирази[ред.ред. код]

  • Багатоскладовий
  • Іменник
  • Український
  • English
  • Синійв даному контексті
  • Елемент списку — в даному контексті
  • Останній елемент списку — в даному контексті

Посилання[ред.ред. код]