Парадокс Ґреллінґа — Нельсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Парадокс Ґреллінга — Нельсона сформульовано в 1908 році Куртом Ґреллінґом та Леонардом Нельсоном, часом його авторство помилково приписують німецькому філософу та математику Герману Вайлю, та використовують термін «парадокс Вайля». Цей парадокс аналогічний парадоксові Цирульника, парадоксові брехуна і парадоксові Рассела.

Означення[ред.ред. код]

Визначимо атрибути «автологічний» (використовують також синонім бларді (en:blardy)) і «гетерологічний» таким чином:

  • Слово є автологічним тоді і тільки тоді, коли воно описує самого себе.
Наприклад, багатоскладовий є автологічним.
  • Слово є гетерологічним тоді і тільки тоді, коли воно не описує самого себе.
Наприклад, односкладовий є гетерологічним.

Парадокс полягає в наступному: чи є слово «гетерологічний» гетерологічним?

Запитання не має відповіді:

якщо так, тоді воно є автологічним (описує самого себе), а отже НЕ гетерологічним;
якщо ні, то воно є гетерологічним за визначенням.

Формально-множинне означення та наслідки для теорії множин[ред.ред. код]

Скористаємось для зручності синонімом бларді для автологічний. Це штучне слово було винайдене саме для демонстрації парадоксу Ґреллінга-Нельсона.

У термінах теорії множин, бларді можна визначити таким чином: для властивості x, нехай S(x) це множина слів або фраз S така, що всі вони посідають властивість x:

  1. S(«багатоскладовий») множина всіх багатоскладових слів, тоді S("багатоскладовий")={багато, велосипед,...}.
  2. Подібним чином, S(«римується з Ківалов»)={Кідалов,...}.

Атрибут x є бларді якщо x \in S(x), та антибларді якщо x \notin S(x)

Теорема: Існують слова що не є ні бларді, ані антибларді. Приклад: «бларді».

Доведення від супротивного: Припустимо, «бларді» є бларді. Тоді S(бларді) містить «бларді». Тоді «антибларді» належить S(антибларді), і звідси є по означенню бларді. Отже, «антибларді» є і бларді і нтибларді, що є суперечністю.

Тепер припустимо, що «бларді» є антибларді. Тоді «антибларді» не є антибларді, а отже бларді. По означенню, S(антибларді) тоді містить «антибларді», отже «антибларді» є як антибларді так і бларді знову, що є суперечністю.

Дана теорема доводить неможливість розбиття множини на підмножини що містять самі себе та підмножини що не містять самі себе. Дивись також парадокс Рассела.

Приклади[ред.ред. код]

Гетерологічні слова/вирази[ред.ред. код]

Автологічні слова/вирази[ред.ред. код]

  • Багатоскладовий
  • Іменник
  • Український
  • English
  • Синій — в даному контексті
  • Елемент списку — в даному контексті
  • Останній елемент списку — в даному контексті

Посилання[ред.ред. код]