Первісна

Поле напрямків функції ƒ(x) = (x³/3)-(x²/2)-x+c, на якому зображено три розв'язки, отримані шляхом варіювання довільної константи C.

Функція $F(x)$ зветься первісною функції $f(x)$ на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо $f(x)$ — похідна функції $F(x)$ на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

$F'(x)=f(x). \!$

Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції $f(x)$ існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.

Якщо $F(x)$ — будь-яка первісна функція $f(x),$ то $F(x)+C$, де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції $f(x)$" посилається до множини $\{F(x)+C| C\in\mathbb{R}\},$ яка складається з усіх первісних функції $f(x),$ де $C$ — довільна константа.

Нотація

У виразі $\int f(x)dx,$ символ $\int$ має назву інтеграла, $f(x)$ має назву підінтегральної функції, $f(x)dx$ зветься підінтегральним виразом, а $x$ зветься змінною інтегрування.

Методи інтегрування

Докладніше у статті Методи інтегрування

Знаходження первісної функції для заданої функції $f(x) \,$ називається інтегруванням. В загальному випадку для будь-якої фукнції, заданої за допомогою аналітичного виразу, не існує аналітичного виразу для первісної. Однак, є чимало випадків, коли первісну від функції можна виразити через елементарні функції. Існує два базові методи знаходження первісних: метод підстановки та метод інтегрування частинами.

Метод підстановки

В методі підстановки (заміни змінної) вводиться нова змінна, зв'язана із початковою змінною x певним співвідношенням. Якщо позначити цю змінну t, то співвідношення заміни змінної запишеться у вигляді $t = g(x)$. Відповідно, для диференціалів $dt = g^\prime(x) dx$. Тоді

$\int f(x) dx = \int f(x) \frac{dt}{g^\prime(x)}$.

В цей вираз потрібно підставити змінну х через змінну t. Якщо підстановку вибрати правильно, то загальний вираз спроститься.

Приклад

Нехай потрібно взяти інтеграл

$\int \frac{dx}{1+ e^{-x}}$.

Вводимо нову змінну $t = e^x$. Тоді $dt = e^x dx$. Інтеграл переписується

$\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} = \int \frac{dt}{e^x(1+ e^{-x})} = \int \frac{dt}{e^x+ 1} = \int \frac{dt}{t+ 1} = \text{ln } |t+1| + C = \text{ln } |e^x +1| + C$

Метод інтегрування частинами

В цьому методі використовується властивість

$\int udv = uv - \int v du$,

де u і v - деякі диференційовані функції підінтегральної змінної. Вдале застосування цієї властивості дозволяє спростити інтегрування. В деяких випадках доводиться інтегрувати частинами кілька разів.[htpp://http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Курс лекцій з математичного аналізу СумДу]

Приклад

Нехай потрібно взяти інтеграл

$\int x \cos x dx = \int x d(\sin x) = x \sin x - \int sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

Див. також

• Похідна
• Таблиця інтегралів

Література

• Г. М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: Наука. 

Посилання

• Динамічні математичні моделі FIZMA.neT
• Іваненко, О.О. Курс лекцій з математичного аналізу [Текст : навч. посіб. / О.О. Іваненко, Т.В. Іваненко. - Суми : СумДУ, 2011. - 534 с.]