Первісна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Функція $F (x)$ зветься первісною функції $f (x)$ на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо $f (x)$ — похідна функції $F (x)$ на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

$F'(x)=f(x). \!$

У математичному аналізі доводиться, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції $f (x)$ існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі, позначається $\int f(x)dx$ і має назву невизначеного інтегралу функції $f (x)$ .

Дещо точніше, якщо $F (x)$ — будь-яка первісна функція $f (x),$ то $F (x) + C$ , де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції $f (x)$ " посилається до множини $\{F(x)+C| C\in\mathbb{R}\},$ яка складається з усіх первісних функції $f (x),$ де $C$ — довільна константа.

Зміст

1 Нотація
2 Методи інтегрування
- 2.1 Метод підстановки
  - 2.1.1 Приклад
- 2.2 Метод інтегрування частинами
  - 2.2.1 Приклад
3 Дивись також
4 Література

[ред.] Нотація

У виразі $\int f(x)dx,$ символ $\int$ має назву інтеграла, $f (x)$ має назву підінтегральної функції, $f (x) d x$ зветься підінтегральним виразом, а $x$ зветься змінною інтегрування.

[ред.] Методи інтегрування

Детальніше у статті Методи інтегрування

Знаходження первісної функції для заданої функції $f(x) \,$ називається інтегруванням. В загальному випадку для будь-якої фукнції, заданої за допомогою аналітичного виразу, не існує аналітичного виразу для первісної. Однак, є чимало випадків, коли первісну від функції можна виразити через елементарні функції. Існує два базові методи знаходження первісних: метод підстановки та метод інтегрування частинами.

[ред.] Метод підстановки

В методі підстановки вводиться нова змінна, зв'язана із початковою змінною x певним співвідношенням. Якщо позначити цю змінну t, то співвідношення заміни змінної запишеться у вигляді $t = g (x)$ . Відповідно, для диференціалів $dt = g^\prime(x) dx$ . Тоді

$\int f(x) dt = \int f(x) \frac{dt}{g^\prime(x)}$ .

В цей вираз потрібно підставити змінну х через змінну t. Якщо підстановку вибрати правильно, то загальний вираз спроститься.

[ред.] Приклад

Нехай потрібно взяти інтеграл

$\int \frac{dx}{1+ e^{-x}}$ .

Вводимо нову змінну $t = e x$ . Тоді $d t = e x d x$ . Інтеграл переписується

$\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} = \int \frac{dt}{e^x(1+ e^{-x})} = \int \frac{dt}{e^x+ 1} = \int \frac{dt}{t+ 1} = \text{ln } |t+1| + C = \text{ln } |e^x +1| + C$

[ред.] Метод інтегрування частинами

В цьому методі використовується властивість

$\int udv = uv - \int v du$ ,

де u і v - деякі функції підінтегральної змінної. Вдале застосування цієї властивості дозволяє спростити інтегрування

[ред.] Приклад

Нехай потрібно взяти інтеграл

$\int x \cos x dx = \int x d(\sin x) = x \sin x - \int sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

[ред.] Дивись також

[ред.] Література

С. Т. Завало. Елементи аналізу. Алгебра многочленів. (1972), Київ: Радянська школа.

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Первісна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Нотація

[ред.] Методи інтегрування

[ред.] Метод підстановки

[ред.] Приклад

[ред.] Метод інтегрування частинами

[ред.] Приклад

[ред.] Дивись також

[ред.] Література

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами