Передпорядок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Передпорядок (відношення передпорядку) — бінарне відношення в теорії порядку, що є рефлексивним та транзитивним. Зазвичай це відношення позначається \leqslant, тоді аксіоми передпорядку на множині M приймають вигляд

\forall a\in M\colon a\leqslant a
\forall a,b,c\in M\colon (a\leqslant b \and b\leqslant c)\Rightarrow(a\leqslant c)

Теорія категорій[ред.ред. код]

В теорії категорій з поняттям передпорядку пов'язують зазвичай дві категорії: категорію передпорядків й категорії, які називають передпорядками.

Передпорядки[ред.ред. код]

Категорія \mathcal P називається передпорядком, якщо для будь-яких двох об'єктів a,b\in Ob \mathcal P існує не більше одного морфізму f\colon a\to b. Якщо \mathcal P — мала категорія, то на множині її об'єктів можна задати відношення передпорядка за наступним правилом:

a \leqslant b \iff \exists f\colon a\to b

З аксіом категорії слідує, що таке відношення буде рефлексивним і транзитивним. Передпорядок — це абстрактна категорія, тобто його у загальному випадку не можна представити як категорію деяких множин із заданою структурою і відображеннями, що зберігають цю структуру.

  • Передпорядок — це скелетна категорія.
  • Якщо мала категорія \mathcal C повна в малому, то вона є предпорядком, причому кожна менша множина його елементів має найбільшу нижню грань.
  • Добуток набору (множини, класу і т. п.) об'єктів предпорядку — це найбільша нижня грань для цього набору. Кодобуток набору об'єктів — це його найменша верхня грань.
  • Початковий об'єкт 0 у передпорядку \mathcal P, якщо він існує, — це його найменший об'єкт, так що \forall a\in\mathcal P\colon 0 \leqslant a. Аналогиічно, термінальний об'єкт передпорядку — це найбільший об'єкт у ньому.

Категорія передпорядків[ред.ред. код]

Категорія передпорядків позначається зазвичай \mathbf{Preord}. Об'єктами категорії передпорядків є передпорядки (в сенсі категорій), зокрема, множини, на яких задані відношення передпорядку. Морфізми в цій категорії — відображення множин, зберігають відношення предпорядку, тобто монотонні відображення. Розглянемо в \mathbf{Preord} підкатегорію малих передпорядків \mathbf{Preord}_S. Це конкретна категорія, наділена очевидним унівалентним забуваючим функтором

U\colon \mathbf{Preord}_S \to \mathbf{Set},

який зіставляє кожному малому передпорядку множину його об'єктів, а кожному морфізму — монотонне відображення відповідних множин. Цей функтор створює межі в \mathbf{Preord}. Таким чином, аналогічно \mathbf{Set}, початковим об'єктом в \mathbf{Preord} є порожня множина, термінальним об'єктом — множина з одного елементу, добутком об'єктів — прямий добуток відповідних множин з покомпонентним порівнянням, тощо.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Лінійний порядок - це передпорядок на множині, для якого будь-які два елементи множини можна порівняти:
\forall a,b\in X\colon (a\leqslant b)\or(b\leqslant a)

Аксіоми передпорядку[ред.ред. код]

  1. a\leq a (рефлексивність)
  2. з a\leq b та b\leq c випливає a\leq c (транзитивність)

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Р. Голдблатт Топоси. Категорний аналіз логіки, — Мир, 1983. — 487 с.
  • С. Маклейн Категорії для працюючого математика, — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.