Перемішування (математика)

У теорії динамічних систем, перемішування — властивість системи «забувати» інформацію про початкові умови з плином часу. Більш точно, розрізняють топологічне і метричне перемішування. Перше належить до теорії неперервних систем і, грубо кажучи, стверджує, що наскільки б точно не було відомо початкове положення точки, з плином часу можливе її місцезнаходження стає все більш і щільнішою множиною. Друге належить до теорії вимірних систем — систем, що зберігають деяку міру $\mu$ — і стверджує, що розподіл абсолютно безперервної міри щодо $\ mu$ (наприклад, обмеження $\mu$ на заданій підмножині початкових умов) при ітераціях прямує до самої міри $\mu$.

Перемішування кольорового пластиліну у кульці, що піддається послідовним відображенням Підкови Смейла.

Визначення

Топологічне перемішування

За визначенням, (неперервна) динамічна система $f:X\to X$ називається топологічно перемішуючою, якщо для будь-яких двох непорожніх відкритих множин $A,B\subset X$ виконується

$\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,$

або, в інакшому вигляді,

$\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,$

Це означає що для будь-яких заданих $\varepsilon >0$ і непорожньої відкритої множини $A$ всі ітерації $A$ з достатньо великим номером виявляються $\varepsilon$-щільні у фазовому просторі.

Топологічне перемішування є сильнішою властивістю, ніє транзитивність. Так, ірраціональний поворот кола транзитивний, але не перемішує.

Метричне перемішування

За визначенням, вимірюване відображення $f:(X,{\mathcal {A}},\mu )\to (X,{\mathcal {A}},\mu )$, що зберігає міру називається метрично перемішуючим, якщо для будь-яких двох вимірюваних множин $A,B\in {\mathcal {A}}$ виконується

$\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .$

У термінах інтегрованих функцій, це рівнозначне тому, що для будь-яких двох функцій $\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$ виконується

$\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \cdot \int _{X}\psi \,d\mu .$

ергодичність міри $\mu$ є необхідною, але не достатньою умовою метричного перемішування. Так, ірраціональний поворот кола зберігає ергодичну для нього міру Лебега, але не є метрично перемішуючим.

Див. також

• Транзитивність (математика)
• Спектральна теорія динамічних систем

Література

• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
• Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. з англ. А. Кононенко за участю С. Ферлегера — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.