Перемішування (математика)

У теорії динамічних систем, перемішування — властивість системи «забувати» інформацію про початкові умови з плином часу. Більш точно, розрізняють топологічне і метричне перемішування. Перше відноситься до теорії неперервних систем і, грубо кажучи, стверджує, що наскільки б точно не було відомо початкове положення точки, з плином часу можливе її місцезнаходження стає все більш і щільнішою множиною. Друге відноситься до теорії вимірних систем — систем, що зберігають деяку міру $\mu$ — і стверджує, що розподіл абсолютно безперервної міри щодо $\ mu$ (наприклад, обмеження $\mu$ на заданій підмножині початкових умов) при ітераціях прямує до самої міри $\mu$.

Перемішування кольорового пластиліну у кульці, що піддається послідовним відображенням Підкови Смейла.

Визначення

Топологічне перемішування

За визначенням, (неперервна) динамічна система $f:X\to X$ називається топологічно перемішуючою, якщо для будь яких двох непорожніх відкритих множин $A,B\subset X$ виконується

$\exists N: \quad \forall n\ge N \quad f^n(A)\cap B \neq\emptyset,$

або, в інакшому вигляді,

$\exists N: \quad \forall n\ge N \quad A\cap f^{-n}(B) \neq\emptyset,$

Це означає що для будь-яких заданих $\varepsilon>0$ і непорожньої відкритої множини $A$ всі ітерації $A$ з достатньо великим номером виявляються $\varepsilon$-щільні у фазовому просторі.

Топологічне перемішування є сильнішою властивістю, ніє транзитивність. Так, ірраціональний поворот кола транзитивний, але не перемішує.

Метричне перемішування

За визначенням, вимірюване відображення $f:(X,\mathcal{A},\mu)\to (X,\mathcal{A},\mu)$, що зберігає міру називається метрично перемішуючим, якщо для будь яких двох вимірюваних множин $A,B\in \mathcal{A}$ виконується

$\mu(f^{-n}(A) \cap B)\to \mu(A)\mu(B), \quad n\to\infty.$

У термінах інтегрованих функцій, це рівнозначне тому, що для будь яких двох функцій $\varphi,\psi \in L_2(X,\mu)$ виконується

$\int_X \varphi(f^n(x)) \psi(x) \, d\mu(x) \to \int_X \varphi \, d\mu \cdot \int_X \psi \, d\mu.$

ергодичність міри $\mu$ є необхідною, але не достатньою умовою метричного перемішування. Так, ірраціональний поворот кола зберігає ергодичну для нього міру Лебега, але не є метрично перемішуючим.

Дивіться також

• Транзитивність (математика)
• Спектральна теорія динамічних систем

Література

• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
• Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. з англ. А. Кононенко за участю С. Ферлегера — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.