Перетворення Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Перетворення Гільберта прямокутного сигнала.

Перетворення Гільберта - лінійне інтегральне перетворення, яке ставить у відповідність функції іншу функцію в тій самій області. Назване на честь Давида Гільберта, який сформулював його в свої роботах над задачею Рімана-Гільберта для голоморфних функцій. Використовується в галузі перетворень Фур'є та аналізу Фур'є. В обробці сигналів перетворення Гільберта перетворює дійсний сигнал на аналітичний.

Визначення[ред.ред. код]

Для дійсних змінних x та y та для дійсних або комплексних функцій f та g перетворення Гільберта визначається як:

g(y) = \mathcal{H}\left\{ {f\left( {y} \right)} \right\}  =  \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{y-x}\mathrm{d}x

Обернене перетворення Гільберта визначається як:

\mathcal{H}^{-1}\left\{ {g\left( {y} \right)} \right\} = - \mathcal{H}\left\{ {g\left( {y} \right)} \right\} = 
f(y)

Приклади перетворення Гільберта[ред.ред. код]

Сигнал
u(t)\,
Перетворення Гільберта
H(u)(t)\,
\sin(t)\, -\cos(t)\,
\cos(t)\, \sin(t)\,
1 \over t^2 + 1 t \over t^2 + 1
Функція sinc
\sin(t) \over t
 1- \cos(t)\over t
Прямокутна функція
  \sqcap(t)
{1 \over \pi} \ln \left | {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}} \right |
Дельта-функція Дірака
\delta(t) \,
 {1 \over \pi t}
Характеристична функція
\chi_{[a,b]}(x) \,
\frac{1}{\pi}\ln \left \vert \frac{x-a}{x-b}\right \vert \,

Зв'язок з перетворенням Фур'є[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є перетворення Гільберта дорівнює:


\mathcal{F}(\mathcal{H}(u))(\omega) = (-i\,\operatorname{sgn}(\omega))\cdot \mathcal{F}(u)(\omega)\,

де  \mathcal{F} означає перетворення Фур'є, а sgn це Signum-функція.

Згідно з формулою Ейлера,

 -i\,\operatorname{sgn}(\omega)\ \, \ =\  \begin{cases}
\ \ i = e^{+i\pi/2}, & \mbox{for } \omega < 0\\
\ \ \ \ 0, & \mbox{for } \omega = 0\\
\ \ -i = e^{-i\pi/2}. & \mbox{for } \omega > 0.
\end{cases}

Отже H(u)(t) здійснює зсув фази компонент негативної частоти u(t) на +90° (π/2 радіан) та фази компонент позитивної частоти на −90°. При цьому i·H(u)(t) відновлює компоненти позитивної частоти та зсуває негативні на додаткові +90°, роблячи їх негативними.

Якщо перетворення Гільберта здійснюється двічі H(H(u)) = −u фаза компонентів негативної та позитивної частоти зсувається на +180° та −180°, відповідно. Сигнал стає негативним оскільки:

e^{\pm i\pi} = -1.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.