Перетворення Гільберта

Перетворення Гільберта прямокутного сигнала.

Перетворення Гільберта - лінійне інтегральне перетворення, яке ставить у відповідність функції іншу функцію в тій самій області. Назване на честь Давида Гільберта, який сформулював його в свої роботах над задачею Рімана-Гільберта для голоморфних функцій. Використовується в галузі перетворень Фур'є та аналізу Фур'є. В обробці сигналів перетворення Гільберта перетворює дійсний сигнал на аналітичний.

Визначення

Для дійсних змінних x та y та для дійсних або комплексних функцій f та g перетворення Гільберта визначається як:

$g(y) = \mathcal{H}\left\{ {f\left( {y} \right)} \right\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{y-x}\mathrm{d}x$

Обернене перетворення Гільберта визначається як:

$\mathcal{H}^{-1}\left\{ {g\left( {y} \right)} \right\} = - \mathcal{H}\left\{ {g\left( {y} \right)} \right\} = f(y)$

Приклади перетворення Гільберта

Сигнал $u(t)\,$	Перетворення Гільберта $H(u)(t)\,$
$\sin(t)\,$	$-\cos(t)\,$
$\cos(t)\,$	$\sin(t)\,$
$1 \over t^2 + 1$	$t \over t^2 + 1$
Функція sinc $\sin(t) \over t$	$1- \cos(t)\over t$
Прямокутна функція $\sqcap(t)$	${1 \over \pi} \ln \left | {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}} \right |$
Дельта-функція Дірака $\delta(t) \,$	${1 \over \pi t}$
Характеристична функція $\chi_{[a,b]}(x) \,$	$\frac{1}{\pi}\ln \left \vert \frac{x-a}{x-b}\right \vert \,$

Зв'язок з перетворенням Фур'є

Перетворення Фур'є перетворення Гільберта дорівнює:

$\mathcal{F}(\mathcal{H}(u))(\omega) = (-i\,\operatorname{sgn}(\omega))\cdot \mathcal{F}(u)(\omega)\,$

де $\mathcal{F}$ означає перетворення Фур'є, а sgn це Signum-функція.

Згідно з формулою Ейлера,

$-i\,\operatorname{sgn}(\omega)\ \, \ =\ \begin{cases} \ \ i = e^{+i\pi/2}, & \mbox{for } \omega < 0\\ \ \ \ \ 0, & \mbox{for } \omega = 0\\ \ \ -i = e^{-i\pi/2}. & \mbox{for } \omega > 0. \end{cases}$

Отже H(u)(t) здійснює зсув фази компонент негативної частоти u(t) на +90° (π/2 радіан) та фази компонент позитивної частоти на −90°. При цьому i·H(u)(t) відновлює компоненти позитивної частоти та зсуває негативні на додаткові +90°, роблячи їх негативними.

Якщо перетворення Гільберта здійснюється двічі H(H(u)) = −u фаза компонентів негативної та позитивної частоти зсувається на +180° та −180°, відповідно. Сигнал стає негативним оскільки:

$e^{\pm i\pi} = -1.$

Див. також

• Простір Lp
• Співвідношення Крамерса-Кроніґа

Джерела

• Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.