Перетворення Келі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перетворення Келі — схожі результати в теорії матриць, комплексному аналізі та для самоспряжених операторів. Названі на честь англійського математика Артура Келі.

Матриці[ред.ред. код]

Перетворення Келі для квадратних матриць:

\ A^C = (I-A)(I+A)^{-1}
\ Q = (I - S)(I + S)^{-1}
\ S = (I - Q)(I + Q)^{-1}

Приклади[ред.ред. код]

В випадку 2×2, отримаємо


\begin{bmatrix} 0 & \tan \frac{\theta}2 \\ -\tan \frac{\theta}2 & 0 \end{bmatrix}
\lrarr
\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} .

Матриця повороту на 180°, не входить, оскільки tan θ2 прямує до нескінченності.

Для випадку 3×3, отримаємо


\begin{bmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{bmatrix}
\lrarr
\frac{1}{K}
\begin{bmatrix}
 w^2+x^2-y^2-z^2 & 2 (x y-w z) & 2 (w y+x z) \\
 2 (x y+w z) & w^2-x^2+y^2-z^2 & 2 (y z-w x) \\
 2 (x z-w y) & 2 (w x+y z) & w^2-x^2-y^2+z^2
\end{bmatrix}, \qquad K=w^2+x^2+y^2+z^2, \quad w=1.

Права частина це матриця повороту задану кватерніоном \ w + x\bold{i} + y\bold{j} + z\bold{k}.

Конформні відображення[ред.ред. код]

Перетворення Келі верхньої півплощини в одиничний круг

Перетворення Келі в комплексному аналізі це відображення комплексної площини в себе, заданої як

 \operatorname{W} \colon z \mapsto \frac{z-\bold{i}}{z+\bold{i}}

Це відображення може бути розширене до автоморфізма Ріманової сфери.

У Гільбертових просторах[ред.ред. код]

\begin{align}
 U &{}= (A - \bold{i}I) (A + \bold{i}I)^{-1} \\
 A &{}= \bold{i}(I + U) (I - U)^{-1}
\end{align}

...