Перетворення Лапласа

Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що зв'язує функцію $\ F(s)$ комплексної змінної (зображення) з функцією $\ f(x)$ дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке розповсюдження в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналам відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Визначення

Пряме перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної $\ f(x)$, називається функція $\ F(s)$ комплексної змінної $s = \sigma + i \omega \,$, така що:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int\limits_{0^.}^\infty\limits\! e^{-st} f(t)\,dt.$

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Обернене перетворення Лапласа

Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної $\ F(s)$, називається функція $\ f(x)$ дійсної змінної, така що:

$f(x) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{ \sigma_1 - i \cdot \infty}^{ \sigma_1 + i \cdot \infty}\limits\! e^{sx} F(s)\,ds,$

де $\sigma_1 \$ — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення Лапласа

Двостороннє перетворення Лапласа визначається наступним чином:

$F(s) = \mathcal{L}\left\{f(x)\right\} =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\limits\! e^{-sx} f(x)\,dx.$

Дискретне перетворення Лапласа

Розрізняють $\ D$-перетворення і $\ Z$-перетворення.

• $\ D$-перетворення

Нехай $x_d \left( {t} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot \delta \left( {t - nT} \right)}$ — дискретна функція, тобто значення даної функції визначені тільки в дискретні моменти часу $\ nT$, де $\ n$ — ціле число, а $\ T$ — період дискретизації.
Тоді застосовуючи перетворення Лапласа одержуємо:
$\mathcal{D}\left\{ {x_d \left( t \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot e^{ - snT} }$

• $\ Z$-перетворення

Якщо використати наступну заміну змінних:
$\ z = e^{ sT }$,
одержимо Z-перетворення:
$\mathcal{Z}\left\{ {x_d \left( {t} \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot z^{ - n} }$

Властивості

• Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при $\sigma = \sigma_0$, тобто існує границя

$\lim_{b \to \infty} \int\limits_{0}^{b}\limits\! |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx = \int\limits_{0}^{\infty}\limits\! |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx$,

то він є збіжним абсолютно і рівномірно для $\sigma \geqslant \sigma_0$ і $F(s)$ — аналітична функція при $\sigma \geqslant \sigma_0$ ($\sigma = \operatorname{\mathrm{Re}}\,s$ — дійсна частина комплексної змінної $s$). Точна нижня грань $\sigma_a$ множини чисел $\sigma$, при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції $f(x)$.

• Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа $\mathcal{L} \{f(x) \}$ існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

1. Випадок $\sigma \geqslant 0$: перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл $\int\limits_{0}^{\infty}\limits\! |f(x)|\,dx$
2. Випадок $\sigma > \sigma_a$: перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл $\int\limits_{0}^{x_1}\limits\! |f(x)|\,dx$ існує для кожного скінченного $x_1 > 0$ и $|f(x)| \leqslant Ke^{\sigma_ax}$ для $x > x_2 \geqslant 0$
3. Випадок $\sigma > 0$ або $\sigma > \sigma_a$ (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції $f'(x)$ (похідна до $f(x)$) для $\sigma > \sigma_a$.

• Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа

1. Якщо $F(s)$ — аналітична функція для $\sigma \geqslant \sigma_a$ і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому $\mathcal{L}^{-1} \{F(s) \} = 0$ для $t \leqslant 0$

2. Нехай $F(s) = \varphi[F_1(s), F_2(s), \dots, F_n(s)]$, так что $\varphi(z_1, z_2, \dots, z_n)$ аналітична відносно кожного $z_k$ і рівна нулю для $z_1 = z_2 = \dots = z_n = 0$, и $F_k(s) = \mathcal{L} \{f_k(x) \{ (\sigma > \sigma_{ak}\colon k = 1, 2, \dots, n)$, тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

• Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

$\mathcal{L} \{ f(x) * g(x) \} = \mathcal{L} \{ f(x) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(x) \}$

• Множення зображень

$f(x)g(0) + \int\limits_{0}^{x}\limits\! f(x-\tau)g'(\tau)\,d\tau = sF(s)G(s)$

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.

• Диференціювання і інтегрування оригіналу

Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

$\mathcal{L} \{f'(x)\} = s \cdot F(s) - f(0^+)$

Для похідної $n$-го порядку:

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} (x) \right\} = s^n \cdot F(s) - s^{n - 1} f(0^+) - \dots - f^{(n - 1)}(0^+)$

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

$\mathcal{L} \left\{ \int\limits_{0}^{x}\limits\! f(t)\,dt \right\} = \frac{F(s)}{s}$

• Дифренціювання та інтегрування зображення

Обернене перетворення Лапласа від від похідної функції дорівнює:

$\mathcal{L}^{-1} \{F'(s)\} = -xf(x)$

Обернене перетворення Лапласа від від похідної функції дорівнює:

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \int\limits_{s}^{+\infty}\limits\! F(s)\,ds \right\} = \frac{f(x)}{x}$

• Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображень:

$\mathcal{L}\left\{ e^{ax} f(x) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{ax} f(x)$

Запізнення оригіналів:

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(x - a) u(x - a)$

де $u(x)$ — Функція Хевісайда.

• Інші властивості

Лінійність

$\mathcal{L}\left\{a f(x) + b g(x) \right\} = a F(s) + b G(s)$

Множення на число

$\mathcal{L} \left\{ f(ax) \right\} =\frac{1}{a} F \left (\frac{s}{a}\right )$

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій

№	Функція	Часова область $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	Частотна область $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	Область збіжності
1	ідеальне запізнення	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
1a	одиничний імпульс	$\delta(t) \$	$1 \$	$\forall \ s \,$
2	запізнення n-го порядку з частотним зсувом	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > 0 \,$
2a	степенева n-го порядку	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
2a.1	степенева q-го порядку	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{q+1} }$	$s > 0 \,$
2a.2	одинична функція	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
2b	одинична функція з запізненням	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
2c	«сходинка швидкості»	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
2d	n-го порядку з частотним зсувом	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
2d.1	експоненційне затухання	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
3	експоненційне наближення	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
4	синус	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
5	косинус	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
6	гіперболічний синус	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
7	гіперболічний косинус	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
8	експоненційно затухаючий синус	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
9	експоненційно затухаючий косинус	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
10	корінь n-го порядку	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s > 0 \,$
11	натуральний логарифм	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
12	функція Бесселя першого роду порядку n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	модифікована функція Бесселя першого роду порядку n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > | \omega | \,$
14	функція Бесселя другого роду нульового порядку	$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$
15	модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку	$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
16	функція помилок	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s > 0 \,$
Примітки до таблиці: $u(t) \,$ — функція Хевісайда. $\delta(t) \,$ — дельта-функція. $\Gamma (z) \,$ — гамма-функція. $\gamma \,$ — стала Ейлера — Маскероні. $t \,$, — дійсна змінна. $s \,$ — комплексна змінна. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$ и $\omega \,$ — дійсні числа. $n \,$ — ціле число.

Застосування перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.

• Розв'язок систем диференціальних і інтегральних рівнянь — за допомогою перетворення Лапласа легко переходити від складних понять математичного аналізу до простіших алгебраїчних відношень.
• Розрахунок вихідних сигналів динамічних систем в теорії управління і обробці сигналів.
• Розрахунок електричних схем за допомогою операторного методу.
• Розв'язок нестаціонарних задач математичної фізики.

Література

• Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
• Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
• Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
• Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Диференціальні рівняння