Перетворення Лежандра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перетворення Лежандра для заданої функції F(x) — це побудова функції F*(p), двоїстої їй за Юнгом. Якщо вихідна функція була визначена на векторному просторі V, її перетворенням Лежандра буде функція, визначена на зв'язаному просторі V*, тобто на просторі лінійних функцій на просторі V.

Визначення[ред.ред. код]

Аналітичне визначення[ред.ред. код]

Перетворенням Лежандра функції f, заданої на підмножині M векторного простору V, називається функція f*, визначена на спряженому просторі V * за формулою

f^*(p)=\sup_{x\in V} (\left\langle p, x \right\rangle - f(x)),~~ x\in M,

де \left\langle p, x \right\rangle — значення лінійного функціоналу p на векторі x. У разі гільбертова простору це буде просто скалярний добуток. В окремому випадку диференційовної функції, заданої в \mathcal R^n, перехід до спряженої функції здійснюється за формулами

f^*(\vec p) = \vec p \vec x - f(\vec x),~~~ \vec p = \frac{\partial f}{\partial \vec x} = \operatorname{grad}f,

причому x потрібно виразити через p із другого рівняння.

Геометричний сенс[ред.ред. код]

Для опуклої функції F (x) її надграфік epi f = {y | y >= F(x)} є опукле замкнутий безліч, межею якого є графік функції F (x). Безліч опорних гіперплощини до надграфіку функції F (x) є природна область визначення її перетворенням Лежандра F * (p). Якщо p — опорна гіперплощина (у нашому випадку дотична) до надграфіку, вона перетинає вісь y в деякій єдиній точці. Її y-координата, взята зі знаком мінус, і є значення функції F * (p).

Відповідність x -> p визначено однозначно в області, де функція F (x) диференційовна (тоді p — є дотична гіперплощина до графіка F (x) в точці x). Зворотне відповідність p -> x визначено однозначно тоді і тільки тоді, коли функція F (x) суворо опукла (у цьому випадку x — єдина точка дотику опорної гіперплощини p з графіком функції F (x)).

Якщо функція F (x) диференційовна і строго опукла, визначено відповідність p(x) <--> dF(x), що зіставляють гіперплощині p диференціал функції F(x) в точці х. Ця відповідність взаємно однозначна і дозволяє перенести область визначення функції F* (p) у простір ковекторов V* (якими є диференціали функції F (x)).

У загальному випадку довільної неопуклих функції геометричний сенс перетворення Лежандра зберігається. У силу опорного принципу, опукла оболонка надграфіка f є перетином півпросторів, що задаються всіма опорними гіперплощинами, тому для перетворення Лежандра істотна лише опукла оболонка надграфіка f. Таким чином, випадок довільної функції легко зводиться до випадку опуклою. Функція навіть не обязяна бути диференційованою або безперервною, її перетворення Лежандра все одно буде опуклою напівбеззупинним знизу функцією.

Властивості[ред.ред. код]

  1. Теорема Фенхеля — Моро: для опуклої напівбеззупинним знизу власної функції f, заданої на рефлексивному просторі, перетворення Лежандра є інволютивних, тобто f * * (x) = f (x). Легко переконатися, що якщо опуклим замиканням функції f є функція g, то f *= g *. Звідси випливає, що для неопуклих функції, опукле замикання якої — власна функція,
  1. f^{**}(x)=\overline{\operatorname{co}}f(x),
    де \overline{\operatorname{co}}f — опукле замикання функції f.
  1. Безпосередньо з аналітичного визначення випливає нерівність Юнга — фенхель:
  1. f(x) + f^*(p)\ge \left\langle p, x \right\rangle, причому рівність досягається тільки якщо p = F '(x).

(Часто нерівністю Юнга називають окремий випадок цієї нерівності для функції F (x) = xa / a, a> 1).

  1. У варіаційному численні (і заснованої на ньому лагранжевой механіці) перетворення Лежандра звичайно застосовується до лагранжіану дії L(t,x,\dot x) за змінною \dot x. Образом лагранжіану стає гамільтоніан дії H(t, x, p), а рівняння Ейлера-Лагранжа для оптимальних траєкторій перетворюються в рівняння Гамільтона.

Література[ред.ред. код]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. (2004). «Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа». Москва: ФИЗМАТЛИТ.