Перетворення Мебіуса

Перетворення на комплексній площині (сірим) та сфері Рімана (чорним)

Перетворення Мебіуса — комплексна раціональна функція виду

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d},\quad a,\; b,\; c,\; d \in \C, \quad ad-bc \ne 0.$

Частковий випадок дробово-лінійних функцій.

Властивості

• Тотожне відображення $\ f(z)=z$ також є дробово-лінійною функцією ($a=d=1,\; b=c=0$).
• Композиція функцій дробово-лінійних відображень також є дробово-лінійною функцією.
• Обернена функція до дробово-лінійної функції також є дробово-лінійною функцією.

Звідки слідує, що дробово-лінійні відображення утворюють групу відносно операції суперпозиції (група автоморфізмів сфери Рімана, також відома під назвою група Мебіуса).

Ця група є комплексно-трьохвимірною групою Лі.

Алгебраїчні властивості

...

Геометричні властивості

• Дробово-лінійне відображення може бути представленим як суперпозиція зсуву, інверсії, повороту та розтягнення.

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z),$

де

1. $\ f_1(z)= z+d/c$ (зсув)
2. $\ f_2(z)= 1/z$ (інверсія та and відбиття відносно дійсної осі)
3. $\ f_3(z)= (- (ad-bc)/c^2) \cdot z$ (поворот та розтягнення)
4. $\ f_4(z)= z+a/c$ (зсув)

• З цієї властивості слідує збереження кутів і кіл при дробово-лінійному відображенні, так як всі його складові є конформними. Маються на увазі кола на сфері Рімана, тобто до них крім звичайних кіл входять прямі.

• Для довільних трьох точок $\ z_1,\; z_2,\; z_3$ існує єдине дробово-лінійне відображення, що переводить їх в задані три точки $\ w_1,\; w_2, \; w_3$.Вонобуде мати вигляд:

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w)}{(w_1-w)(w_2-w_3)}.$

Перетворення одиничного кола

Перетворення Мебіуса є автоморфізмом одиничного кола $\ \Delta=\{z:|z|<1\}$ тоді і тільки тоді, коли $a{\bar b}=c{\bar d}$ та $\frac{bc}{ad}$ належать напівінтервалу $[0,\;1)$.

Для сфери Рімана, так і для одиничного кола дробово-лінійними функціями вичерпуються всі конформні автоморфізми. Автоморфізми одиничного кола утворюють дійсну-тривимірну підгрупу групи Мебіуса; кожний з яких виражається у вигляді:

$f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1.$

Приклади

Важливим прикладом дробово-лінійної функції є перетворення Келі:

$W(z)=\frac{z-i}{z+i}.$

Воно відображає верхню напівплощину в одиничне коло.

Література

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М: Наука, 1969. — 577 с.