Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоби розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (таких як мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення

Перетворення Фур'є функції $f(t) \,$ математично визначається як комплексна функція $F(\omega) \,$, яка задається інтегралом^[1]

$F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt$

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = f(t)$

Властивості

Якщо задані інтегровні функції $f(x)$, $g(x)$ та $h(x)$ та їхні відповідні перетворення Фур'є $\hat{f}(\xi)$, $\hat{g}(\xi)$ та$\hat{h}(\xi)$, тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність

Для довільних комплексних чисел a та b, якщо h(x) = aƒ(x) + bg(x), тоді   $\hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi).$

Трансляція

Для довільного дійсного числа x₀, якщо h(x) = ƒ(x − x₀), тоді  $\hat{h}(\xi)= e^{-2\pi i x_0\xi }\hat{f}(\xi).$

Модуляція

Для довільного дійсного числа ξ₀, якщо h(x) = e^2πixξ₀ƒ(x), тоді  $\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0})$.

Масштабування

Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо h(x) = ƒ(ax), тоді  $\hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)$.     Випадок a = −1 призводить до властивості "обернення часу", згідно з якою: якщо h(x) = ƒ(−x), тоді  $\hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi)$.

Спряження

Якщо $h(x)=\overline{f(x)}$, тоді  $\hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.$

Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце "умова дійсності"   $\hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}.$

Згортка

Якщо $h(x)=\left(f*g\right)(x)$, тоді  $\hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi).$

Використання

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектру неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і відповідно SETI@Home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу $f(t)$ має вигляд

$g(t) = \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau$,

де $\alpha(\tau)$ — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і, яке, змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

$G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) \int_{-\infty}^\infty F(\omega^\prime) e^{i \omega^\prime (t - \tau)} d\omega^\prime d\tau dt$

Оскільки

$\int_{-\infty}^\infty e^{i (\omega^\prime - \omega )t} dt = 2\pi \delta(\omega^\prime - \omega)$,

де $\delta(x)$ — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

$G(\omega) =\Alpha(\omega) F(\omega) \,$,

де

$\Alpha(\omega) = \int_0^\infty \alpha(\tau)e^{i \omega \tau}$.

Важливим висновком з цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи $\Alpha(\omega)$.

Дивіться також

• Ряд Фур'є
• Перетворення Лапласа
• Швидке перетворення Фур'є
• Дискретне перетворення Фур'є

Примітки

^  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти $\omega$ використовують лінійну частоту $\nu$, розподіляють множник $1/2\pi$ порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

Джерела

• Bochner S.,Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

Посилання

• Fourier Series Applet
• An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform
• SETI@home (Search for ExtraTerrestrial Intelligence at home - Пошук позаземного розуму вдома