Перетворення Хаусхолдера

Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення $\ H_u$ векторного простору $\ V$ , що описує його відображення відносно гіперплощини яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Зміст

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором $\ u$ , що є ортогональним до неї; та $\langle \cdot, \cdot \rangle$ — скалярний добуток в $\ V$ , тоді

$\ H_u(x) = x - 2\langle x,u \rangle u$ — оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

$\ H = I - 2 u u^*.$

Матриця Хаусхолдера є ермітовою: $\ H = H^*.$
Матриця Хаусхолдера є унітарною: $\ H^* H = I.$
Отже вона є інволюцією: $\ H^2 = I.$ .
Перетворення $\ H_u(x)$ відображає точку $\ x$ в точку $\ x - 2\langle u,x\rangle u.$
Перетворення Хаусхолдера має одне власне значення рівне (-1) що відповідає власному вектору $\ u,$ всі інші власні значення рівні (+1).
Визначник матриці Хаусхолдера рівний (-1).