Планарний граф

Планарний граф — граф, який може бути зображений на площині без перетину ребер.

Граф зображений на площині називається плоским, якщо його ребра не перетинаються. Граф називається планарним, якщо він ізоморфний деякому плоскому графу. Тобто існує відображення вершин графа на деякі точки площини і ребер графа на прості криві у площині, так що кінцями кривих є точки, що відповідають вершинам ребра і дві різні криві не мають спільних точок, окрім можливо кінцевих.

Критерій непланарності

• достатня умова — якщо граф містить дводольний підграф K_3,3 або повний підграф K₅, то він є не планарним;
• необхідна умова — якщо граф не планарний, то він повинен містити більше 4 вершин, ступінь яких більше 3, або більше 5 вершин ступеня 2.

Теорема Куратовського

Граф є планарним тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфів, гомеоморфних K5 або K3,3.

K₅, повний граф з 5 вершинами

K_3,3, повний дводольний граф

Теорема Чижа В.О.

Граф є планарним тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфів, що стягуються в K5 або K3,3.

Формула Ейлера

Для зв'язного плоского графа справедливо наступне співвідношення між кількістю вершин V, ребер E і граней F (включаючи зовнішню грань): $V - E + F = 2 \;$

Його було знайдено Ейлером в 1736 р.[1] при вивченні властивостей опуклих багатогранників. Це співвідношення справедливо і для інших поверхонь з точністю до коефіцієнта, що називається характеристикою Ейлера. Це інваріант поверхні, для площини або сфери він рівний два.

Формула має безліч корисних наслідків. З того, що кожна грань обмежена не більше ніж трьома ребрами, випливає, що для плоского графа:

$E \le 3V-6$

тобто, при більшому числі ребер граф непланарний. Звідси випливає, що в планарному графі завжди можна знайти вершину степеня 5.

Властивості

• Довільний планарний граф може бути зображений на площині так, щоб всі його ребра були прямими відрізками (теорема Фарі).
• Вершини довільного планарного графа можна розфарбувати в чотири кольори так, щоб усі суміжні вершини мали різні кольори.

Зовнішні планарні графи

Граф K₄

Планарний граф називається зовнішнім планарним, якщо існує грань, що містить всі його вершини. Дані графи можна зобразити на поверхні так, що всі вершини будуть розміщені на колі.

Приклади

• Усі дерева є зонішніми планарними графами.
• Граф K₄ є планарним графом, що не є зовнішнім планарним.

Властивості зовнішніх планарних графів

• Довільний зовнішній планарний граф має вершину степеня щонайбільше 2.
• *Вершини довільного зовнішнього планарного графа можна розфарбувати в три кольори так, щоб усі суміжні вершини мали різні кольори.

Джерела

1. А. Ю. Ольшанский. Плоские графы, СОЖ, 1996, No 11,
2. Ф. Харари. Теория графов. М.: «Мир». 1973