Площа поверхні

Пло́ща пове́рхні — площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.

Обчислення

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією $\mathbf{r}(u,v)$, тоді площа $S$, поверхні $\Omega$, обчислюється за формулою:

$S = \iint\limits_{\Omega} dS = \iint\limits_{\Omega'} | \mathbf{T}_u \times \mathbf{T}_v| du dv$,

де $\mathbf{T}_u$ та $\mathbf{T}_v$ — дотичні вектори, $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

$S = \iint\limits_{\Omega'}\sqrt{EG-F^2}du dv$,

де $E, F, G$ - коефіцієнти Гауса, $E = \left(\mathbf{T}_u,\mathbf{T}_u\right), G = \left(\mathbf{T}_v,\mathbf{T}_v\right), F = \left(\mathbf{T}_u,\mathbf{T}_v\right)$.

Якщо поверхню $\Omega$ задано функцією $z = z(x,y)$ над деякою областю $\Omega '$ (або $\Omega '$ є проекцією поверхні $\Omega$ на площину $xOy$ ), тоді

$S = \iint\limits_{\Omega}d\Omega = \iint\limits_{\Omega '} \sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 + 1}\, dx dy.$

Дивіться також

• Об'єм
• Парадокс маляра
• Площа
• Поверхневий інтеграл
• Поверхня обертання