Площа поверхні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Площа поверхні — площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.

[ред.] Обчислення

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією \mathbf{r}(u,v), тоді площа S, поверхні Ω, обчислюється за формулою:[1]

S = \iint\limits_{\Omega} dS = \iint\limits_{\Omega'} | \mathbf{T}_u \times \mathbf{T}_v| du dv,

де \mathbf{T}_u та \mathbf{T}_v — дотичні вектори, \mathbf{a}\times\mathbf{b} — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

S = \iint\limits_{\Omega'}\sqrt{EG-F^2}du dv,

де E,F,G - коеффіцієнти Гауса, E = \left(\mathbf{T}_u,\mathbf{T}_u\right), G = \left(\mathbf{T}_v,\mathbf{T}_v\right), F = \left(\mathbf{T}_u,\mathbf{T}_v\right).

Якщо поверхню Ω задано функцією z = z(x,y) над деякою областю Ω' (або Ω' є проекцією поверхні Ω на площину xOy [2]), тоді

S = \iint\limits_{\Omega}d\Omega = \iint\limits_{\Omega '} \sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 + 1}\, dx dy.

[ред.] Посилання

  1. ↑ Eric Weisstein. CRC Concise Encylopedia of Mathematics.
  2. ↑ Мышкис А. Д.. Лекции по Высшей Математика (1973).

[ред.] Дивіться також

 У Вікіпедії є портал
Отримано з http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96
Особисті інструменти
Іншими мовами