Площа поверхні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пло́ща пове́рхні — площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.

Обчислення[ред.ред. код]

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією \mathbf{r}(u,v), тоді площа S, поверхні (u,v)\in \Omega, обчислюється за формулою:[1]

S = \iint\limits_{\Omega} | r_u \times r_v| du dv,

де r_u=\frac{\partial r}{\partial u} та r_v=\frac{\partial r}{\partial v} — дотичні вектори, r_u \times r_v — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

S = \iint\limits_{\Omega}\sqrt{EG-F^2}\,du dv,

де E, F, G — коефіцієнти першої квадратичної форми, E = \left(r_u,r_u\right), G = \left(r_v,r_v\right), F = \left(r_u,r_v\right).

Якщо поверхню \Omega задано функцією z = z(x,y) над деякою областю (x,y)\in\Omega ' (або \Omega ' є проекцією поверхні \Omega на площину xOy[2]), тоді

 S = \iint\limits_{\Omega}d\Omega = \iint\limits_{\Omega '} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}\, dx dy.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Eric Weisstein. CRC Concise Encylopedia of Mathematics. 
  2. Мышкис А. Д. (1973). Лекции по Высшей Математика. 

Дивіться також[ред.ред. код]