Площа фігури
Площа плоскої фігури — адитивна числова характеристика фігури, яка розташована в площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеву множину одиничних квадратів, площа дорівнює кількості квадратів.
Визначення та властивості площі[ред. | ред. код]
Формальне введення поняття площі і об'єму здійснюється з допомогою міри Жордана, тут наведено інтуїтивно зрозуміле визначення.
Площа — це дійснозначна функція, визначена на певному класі фігур евклідової площини і задовольняє чотирьом умовам:
- Додатність — площа невід'ємна;
- Нормування — квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
- Конгруентність — конгруентні фігури мають рівну площу;
- Адитивність — площа об'єднання двох фігур без спільних внутрішніх точок дорівнює сумі площ.
Певний клас фігур повинен бути замкнений відносно операцій перетину та об'єднання, а також відносно рухів площини і включати в себе всі багатокутники. З цих аксіом слідує монотонність площі, тобто
- Якщо одна фігура міститься в іншій фігурі, то площа першої не перевершує площі другої: Найчастіше за «певний клас» беруть множину квадрованих фігур. Фігура називається квадрованою, якщо для будь-якого існує пара багатокутників і , такі, що i , де позначає площу .
Пов'язані визначення[ред. | ред. код]
- Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають однакову площу.
Коментарі[ред. | ред. код]
Існує математично строгий, але неоднозначний спосіб визначити площу для всіх обмежених підмножин площині. Тобто на множині всіх обмежених підмножин площині існують різні функції площі, що задовольняють вищенаведеним аксіомам, а множина квадрованих фігур є максимальною множиною фігур, на яких площа визначається однозначно.
Площі деяких фігур[ред. | ред. код]
Фігура | Формула | Коментар |
---|---|---|
Правильний трикутник | — довжина сторони трикутника. | |
Трикутник | Формула Герона. — півпериметр, , і — довжини сторін трикутника. | |
Трикутник | і — дві сторони трикутника, а — кут між ними. | |
Трикутник | і — сторона трикутника і висота, проведена до цієї сторони. | |
Квадрат | — довжина сторони квадрата. | |
Прямокутник | і — довжини сторін прямокутника. | |
Ромб | — сторона ромба, — внутрішній кут, , — діагоналі. | |
Паралелограм | — довжина однієї із сторін паралелограму, а — висота, проведена до цієї сторони. | |
Трапеція | і — довжини паралельних сторін, а — відстань між ними (висота). | |
Правильний шестикутник | — довжина сторони шестикутника. | |
Правильний восьмикутник | — довжина сторони восьмикутника. | |
Правильний багатокутник | — довжина сторони багатокутника, а — кількість сторін багатокутника. | |
Правильний багатокутник | — апофема (або радіус вписаного в багатокутник кола), а — периметр багатокутника. | |
Коло | або | — радіус кола, а — його діаметр. |
Сектор кола | i — відповідно радіус і кут сектора (в радіанах). | |
Еліпс | і — велика і мала півосі еліпса. | |
Поверхня Циліндра | і — радіус і висота циліндра відповідно. | |
Бічна поверхня циліндра | і — радіус і висота циліндра відповідно. | |
Поверхня конуса | і — радіус та довжина твірної відповідно. | |
Бічна поверхня конуса | і — радіус та довжина твірної відповідно. | |
Поверхня сфери | i — радіус та діаметр, відповідно. | |
Поверхня еліпсоїда | див. статтю. |
- Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
- Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:
- Площа довільного чотирикутника ABCD дорівнює половині добутку діагоналей і синуса кута між ними:
- ,
- де — кут між діагоналями.
- Площа ромба ABCD дорівнює половині добутку діагоналей:
- Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
- Площа трапеції дорівнює добутку півсумі суми основ на висоту:
Див. також[ред. | ред. код]
- Міра Бореля
- Міра Жордана
- Міра Лебега
- Орієнтована площа
- Площа поверхні
- Теорема Бойяі — Гервіна про рівноскладеність рівновеликих багатокутників
- Загадка зниклого квадрата
Література[ред. | ред. код]
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, С. 224.
Ресурси Інтернету[ред. | ред. код]
- Gebiet in Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder auf Mathematik Online (Uni Stuttgart) [Архівовано 21 травня 2016 у Wayback Machine.]
- В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. [Архівовано 5 травня 2017 у Wayback Machine.] Квант, № 5, 1977
- Б. П. Гейдман, Площади многоугольников [Архівовано 10 червня 2017 у Wayback Machine.], Библиотека «Математическое просвещение» [Архівовано 12 січня 2014 у Wayback Machine.], выпуск 16, (2002).
- В. А. Рохлин, Площадь и объём [Архівовано 11 квітня 2021 у Wayback Machine.], Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.