Площина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Площина́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладенні геометрії поняття плосщини як правило сприймається як первісне, котре лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше зустрічається в [А. К. Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, впервше зустрічається в Ламе (1816—1818), нормальне рівняння увів (1861).

[ред.] Деякі характерні властивості площини

Площина — поверхня, котра повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

[ред.] Рівняння площини

Площина — алгебрична поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням перошого степеня.

Загальне (повне) рівняння площини

$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$

де $A, B, C$ та $D$ — сталі, при чому $A, B$ і $C$ не всі рівні нулю; у векторній формі:

$(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0$

де $\mathbf{r}$ — радіус-вектор точки $M (x, y, z)$ , вектор $\mathbf{N}=(A,B,C)$ перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора $\mathbf{N}$ :

$\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називаєтся неповним. При $D = 0$ площина проходить через початок координат, при $A = 0$ (или $B = 0$ , $C = 0$ ) площина паралельна осі $O x$ (відповідно $O y$ чи $O z$ ). При $A = B = 0$ ( $A = C = 0$ , чи $B = C = 0$ ) площина паралельна площині $O x y$ (відповідно $O x z$ чи $O y z$ ).

Рівняння площини у відрізках:

$\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,$

де $a = - D / A, b = - D / B, c = - D / C$ — відрізки, котрі площина відсікає на осях $O x, O y$ і $O z$ .

Рівняння площини, що проходить через точку $M (x 0, y 0, z 0)$ перпендикулярно до вектора $\mathbf{N}(A,B,C)$ :

A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0;

у векторній формі:

$((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.$

Рівняння площини, що проходить через три задані точки $M (x i, y i, z i)$ , котрі не лежать на одній прямій:

$((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0$

(мішаний добуток векторів), іншими словами

$\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x-x_2&y-y_2&z-z_2\\ x-x_3&y-y_3&z-z_3\\ \end{matrix}\right|=0.$

Нормальне (нормоване) рівняння площини

$x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)$

у векторній формі:

$(\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0,$

де $\mathbf{N^0}$ - одиничний вектор, $p$ — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

$\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

(знаки $μ$ і $D$ протилежні).

[ред.] Пов'язані поняття

Відхилення точки $M 1 (x 1, y 1, z 1)$ від площини

δ = x 1 cosα + y 1 cosβ + z 1 cosγ - p;

$δ > 0$ ,якщо $M i$ і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку $δ < 0$ . Відстань від точки до площини дорівнює $| δ | .$