Площина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Площина́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладенні геометрії поняття площини як правило сприймається як первісне, котре лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше зустрічається в А.К.Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше зустрічається в Ламе (18161818), нормальне рівняння увів (1861).

Деякі характерні властивості площини[ред.ред. код]

  • Площина — поверхня, котра повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
  • Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Рівняння площини[ред.ред. код]

Площина — алгебраїчна поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.

  • Загальне (повне) рівняння площини
Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

де A,B,C та D — сталі, при чому A,B і C не всі рівні нулю; у векторній формі:

(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

де \mathbf{r} — радіус-вектор точки M(x,y,z), вектор \mathbf{N}=(A,B,C) перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора \mathbf{N}:

\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називаєтся неповним. При D=0 площина проходить через початок координат, при A=0 (або B=0, C=0) площина паралельна осі Ox (відповідно Oy чи Oz). При A=B=0 (A=C=0, чи B=C=0) площина паралельна площині Oxy (відповідно Oxz чи Oyz).

  • Рівняння площини у відрізках:
\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

де a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C — відрізки, які площина відсікає на осях Ox, Oy і Oz.

  • Рівняння площини, що проходить через точку M(x_0,y_0,z_0) перпендикулярно до вектора \mathbf{N}(A,B,C):
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;

у векторній формі:

((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.
  • Рівняння площини, що проходить через три задані точки M(x_i,y_i,z_i), які не лежать на одній прямій:
((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0

(мішаний добуток векторів), іншими словами

\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.
  • Нормальне (нормоване) рівняння площини
x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)

у векторній формі:

(\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0,

де \mathbf{N^0} — одиничний вектор, p — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(знаки \mu і D протилежні).

Пов'язані поняття[ред.ред. код]

  • Відхилення точки M_1(x_1,y_1,z_1) від площини
\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;

\delta>0,якщо M_i і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку\delta<0. Відстань від точки до площини дорівнює |\delta|.

  • Кут між площинами Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то
\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};

Якщо у векторній формі, то

\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} чи [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=1.
A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 чи (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0.
  • Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин
\alpha (A_1x+B_1y+C_1z)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z)=0,

де \alpha і \beta — довільні числа, що не одночасно дорівнюють нулю.

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.