Побудова за допомогою циркуля та лінійки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Побудова за допомогою циркуля та лінійки — розділ евклідової геометрії, відомий ще з античних часів.

В задачах на побудову можливі такі операції:

  • Позначити довільну точку на площині, точку на одній з побудованих ліній або точку перетину двох побудованих ліній.
  • За допомогою циркуля намалювати коло з центром в побудованій точці та радіусом, рівним відстані між двома вже побудованими точками.
  • За допомогою лінійки провести пряму, що проходить через дві побудовані точки.

При цьому циркуль та лінійка вважаються ідеальними інструментами, зокрема:

  • Лінійка не має поділок і має тільки одну сторону нескінченної довжини;
  • Циркуль може мати який завгодно великий радіус.

Простий приклад[ред.ред. код]

Поділ відрізка навпіл

Задача. За допомогою циркуля та лінійки поділити даний відрізок AB на дві рівні частини. Один з розв'язків показано на малюнку:

  • Циркулем будуємо коло з центром в точці A радіусу AB.
  • Будуємо коло з центром в точці B радіусу AB.
  • Знаходимо точки перетину P та Q двох побудованих кіл.
  • Лінійкою проводимо відрізок, з'єднуючий точки P та Q.
  • Знаходимо точку перетину AB та PQ. Це — шукана середина відрізка AB.

Правильні багатокутники[ред.ред. код]


Основна стаття: Теорема Гауса - Ванцеля

Побудова правильного п'ятикутника

Античним геометрам були відомі методи побудови правильних n-кутників для n=2^k\,\!, 3\cdot 2^k, 5\cdot 2^k та 3\cdot5\cdot2^k.

Гаус у 1796 р. показав можливість побудови правильних n-кутників при n=2^k \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_m, де p_i\,\! —різні прості числа Ферма. У 1836 р. П. Ванцель довів, що інших правильних багатокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.

Відомі задачі[ред.ред. код]

Нерозв'язані задачі[ред.ред. код]

Ще в античності були поставлені такі три задачі на побудову:

  • Трисекція кута — розбити довільний кут на три рівні частини.
  • Подвоєння куба — побудувати відрізок, що є ребром куба вдвічі більшого об'єму, ніж куб з даним ребром.
  • Квадратура круга — побудувати квадрат, рівний за площею даному кругу.

Тільки у XIX столітті було доведено, що всі три задачі нерозв'язні циркулем та лінійкою. Питання можливості побудови повністю вирішене алгебраїчними методами, основаними на теорії Галуа.

Можливі та неможливі побудови[ред.ред. код]

Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому зручно говорити про побудову числа — графічного розв'язку рівняння визначеного типу.

В рамках вищеокреслених вимог, можливі такі побудови:

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа рівні арифметичним виразам з використанням квадратного кореня з вихідних чисел (довжин відрізків). Наприклад,

  • Якщо задано тільки відрізок довжини 1, то \sqrt[3]{2} неможливо представити в такому вигляді (звідси неможливість подвоєння куба).
  • Можливість побудувати правильний 17-кутник випливає з виразу на косинус кута:
    \cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

  • Побудови за допомогою одного циркуля. За теоремою Мора — Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем та лінійкою. При цьому пряма вважається побудованою, якщо на ній задано дві точки.
  • Побудови за допомогою однієї лінійки. Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна реалізувати тільки проективно-інваріантні побудови. Зокрема, неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини або знайти центр намальованого кола. Але за наявності на площині заздалегідь проведеного кола з позначеним центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що і циркулем та лінійкою (теорема Понселе - Штейнера (англ.)), 1833.
  • Побудови за допомогою плоского орігамі. див. правила Худзіта

Цікаві факти[ред.ред. код]

  • Візерунок на прапорі Ірану описується як побудова за допомогою циркуля та лінійки, (див. [1] персидською мовою).

Дивіться також[ред.ред. код]

  • GeoGebra, Kig, KSEG — програми, дозволяючі виконувати побудови за допомогою циркуля та лінійки.

Література[ред.ред. код]