Побудова за допомогою циркуля та лінійки

Побудова за допомогою циркуля та лінійки — розділ евклідової геометрії, відомий ще з античних часів.

В задачах на побудову можливі такі операції:

• Позначити довільну точку на площині, точку на одній з побудованих ліній або точку перетину двох побудованих ліній.
• За допомогою циркуля намалювати коло з центром в побудованій точці та радіусом, рівним відстані між двома вже побудованими точками.
• За допомогою лінійки провести пряму, що проходить через дві побудовані точки.

При цьому циркуль та лінійка вважаються ідеальними інструментами, зокрема:

• Лінійка не має поділок і має тільки одну сторону нескінченної довжини;
• Циркуль може мати який завгодно великий радіус.

Простий приклад

Поділ відрізка навпіл

Задача. За допомогою циркуля та лінійки поділити даний відрізок AB на дві рівні частини. Один з розв'язків показано на малюнку:

• Циркулем будуємо коло з центром в точці A радіусу AB.
• Будуємо коло з центром в точці B радіусу AB.
• Знаходимо точки перетину P та Q двох побудованих кіл.
• Лінійкою проводимо відрізок, з'єднуючий точки P та Q.
• Знаходимо точку перетину AB та PQ. Це — шукана середина відрізка AB.

Правильні багатокутники

Основна стаття: Теорема Гауса - Ванцеля

Побудова правильного п'ятикутника

Античним геометрам були відомі методи побудови правильних n-кутників для $n=2^k\,\!$, $3\cdot 2^k$, $5\cdot 2^k$ та $3\cdot5\cdot2^k$.

Гаус у 1796 р. показав можливість побудови правильних n-кутників при $n=2^k \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_m$, де $p_i\,\!$ —різні прості числа Ферма. У 1836 р. П. Ванцель довів, що інших правильних багатокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.

Відомі задачі

• Задача Аполонія
• Задача Брахмагупти

Нерозв'язані задачі

Ще в античності були поставлені такі три задачі на побудову:

• Трисекція кута — розбити довільний кут на три рівні частини.
• Подвоєння куба — побудувати відрізок, що є ребром куба вдвічі більшого об'єму, ніж куб з даним ребром.
• Квадратура круга — побудувати квадрат, рівний за площею даному кругу.

Тільки у XIX столітті було доведено, що всі три задачі нерозв'язні циркулем та лінійкою. Питання можливості побудови повністю вирішене алгебраїчними методами, основаними на теорії Галуа.

Можливі та неможливі побудови

Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому зручно говорити про побудову числа — графічного розв'язку рівняння визначеного типу.

В рамках вищеокреслених вимог, можливі такі побудови:

• Побудова розв'язків лінійних рівнянь.
• Побудова розв'язків квадратних рівнянь.

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа рівні арифметичним виразам з використанням квадратного кореня з вихідних чисел (довжин відрізків). Наприклад,

• Якщо задано тільки відрізок довжини $1$, то $\sqrt[3]{2}$ неможливо представити в такому вигляді (звідси неможливість подвоєння куба).
• Можливість побудувати правильний 17-кутник випливає з виразу на косинус кута:

  $\cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }$

Варіації та узагальнення

• Побудови за допомогою одного циркуля. За теоремою Мора — Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем та лінійкою. При цьому пряма вважається побудованою, якщо на ній задано дві точки.
• Побудови за допомогою однієї лінійки. Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна реалізувати тільки проективно-інваріантні побудови. Зокрема, неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини або знайти центр намальованого кола. Але за наявності на площині заздалегідь проведеного кола з позначеним центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що і циркулем та лінійкою (теорема Понселе - Штейнера (англ.)), 1833.
• Побудови за допомогою плоского орігамі. див. правила Худзіта

Цікаві факти

• Візерунок на прапорі Ірану описується як побудова за допомогою циркуля та лінійки, (див. [1] персидською мовою).

Дивіться також

• GeoGebra, Kig, KSEG — програми, дозволяючі виконувати побудови за допомогою циркуля та лінійки.

Література

• А. Адлер. Теорія геометричних побудов, Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
• І. І. Алєксандров, Збірник геометричних задач на побудову, Видання вісімнадцяте, М., Навчпедвид, 1950—176 с.
• Б. І. Аргунов, М Б Балк. Геометричні побудови на площині, Посібник для студентів педагогічних інститутів. Видання друге. М., Навчпедвид, 1957—268 с.
• О. М. Воронець. Геометрія циркуля, Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
• В. О. Гейлер. Нерозв'язні задачі на побудову, СОЖ, 1999, No 12, с. 115—118.
• Ю. І.  Манін, Про розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія), М., Фізматвид, 1963. — 568с.
• Ю. Петерсен. Методи і теорії розв'язку геометричних задач на побудову, Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
• В. В. Прасолов Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура круга, М.: Наука, 1992. 80 с. Серія Популярні лекції з математики, випуск 62
• Я. Штейнер, Геометричні побудови, виконувані за допомогою прямої лінії та нерухомого круга, М., Навчпедвид, 1939 — 80 с.