Поверхневий інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтеграли[ред.ред. код]

Шмат поверхні \!S, заданий у параметричні формі: \!x=x(u, v), \!y=y(u, v), \!z=z(u, v), причому (u, v) пробігають деяку область \!\Gamma площини, називається гладким, якщо різні пари значень \!(u, v) дають різні точки \!S, часткові похідні функцій \!x=x(u, v), \!y=y(u, v), \!z=z(u, v) неперервні і завжди

\!A^2+B^2+C^2>0,


A=\begin{vmatrix}
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v}  \\
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v}  \\
\end{vmatrix}


\;B=\begin{vmatrix}
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v}  \\
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v}  \\
\end{vmatrix}


\;C=\begin{vmatrix}
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v}  \\
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v}  \\
\end{vmatrix}

Якщо поверхня \!S складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то \!S називається кусково гладкою.

Гладка поверхня \!S називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на \!S, виходячи з будь-якої точки \!M_0 на \!S, повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в \!M_0. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхні[ред.ред. код]

Докладніше: Площа поверхні

Хай поверхня \!S задана параметрично: \!x=x(u, v), \!y=y(u, v), \!z=z(u, v), причому \!u і \!v пробігають деяку область \!\Gamma площини \!u, \!v. Тоді площа \!S поверхні визначається поверхневим інтегралом

\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv, де E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2

F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}

G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2;

підінтегральний вираз

dS=\sqrt{EG-F^2}\, du\,dv

називається елементом поверхні.

Якщо S задана явно рівнянням z=\phi(x, y), причому (x, y) пробігають область S' (проекцію області S на площину x0y), то:

S=\iint_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy,

де

p={\partial z \over \partial x}, q={\partial z \over \partial y}.

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду[ред.ред. код]

Поверхневі інтеграли 1-го роду[ред.ред. код]

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція \!f(x, y, z) визначена і обмежена на гладкій поверхні \!S. Хай \!Z позначає деяке розбиття \!S на скінченну кількість елементарних поверхонь \!S_i (i = 1, 2 …. і) з площами \!\Delta S_i, \!\Delta(Z) є найбільшим діаметром елементарних поверхонь \!S_i і \!M_i=(x_i, y_i, z_i)  — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю \!Z. Якщо існує число \!I з такою властивістю: для кожного \!\epsilon>0 знайдеться таке\! \delta(\epsilon)>0, що для кожного розбиття \!Z з \!\Delta(Z)<\delta, незалежно від вибору точок \!M_i \!|S(Z) - I|<\delta, то \!I називається поверхневим інтегралом 1-го роду від \!f(x, y, z) по поверхні \!S і записується

\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds

Для окремого випадку підінтегрального виразу \!f(x, y, z) \equiv 1

число \!I дає площу \!S поверхні \!S.

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

\!x=x(u, v), \!y=y(u, v), \!z=z(u, v),

причому \!u та \!v пробігають область \!\Gamma площини \!u, \!v

\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv

Якщо поверхня задана явно рівнянням \!z=\phi(x, y) причому \!(x, y) пробігають область \!S', то

\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy

Аналогічні формули вірні, якщо \!S представлена рівняннями виду \!x=\psi(y, z) чи \!y=\chi(x, z)

Поверхневі інтеграли 2-го роду[ред.ред. код]

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні \!S; на кожній замкнутій кривій на \!S визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні \!S, розташованої однозначно над площиною \!x, y і заданою явно рівнянням \!z=\phi(x, y), визначена обмежена функцією \!f(x, y, z). Нехай \!Z є розбиття поверхні \!S на скінченну кількість елементарних поверхонь \!S_i, \!(i=1, 2, .... n), \!\Delta{Z} — найбільший діаметр елементарних поверхонь, \!M_i=(x_i, y_i, z_i) — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні \!S_i. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні \!S_i визначає напрям обходу в площині \!x, y, біля кордону проекції \!S'_i. Площа \!\Delta S'_i цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції \!S'_i проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю \!Z. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут \!f(M_i) множиться не на площу \!\Delta S'_i (елементарній поверхні \! S_i а на взяту із знаком площа \!\Delta S'_i проекції \!S'_i поверхні \! S_i на площину \!x, y.

Якщо існує число \!I з такою властивістю: для кожного \!\epsilon>0 знайдеться таке \!\delta(\epsilon)>0, що для кожного розбиття \!Z з \!\Delta(Z)<\delta, незалежно від вибору точок \!M_i, завжди |\!|S(Z)-I|<\epsilon, то \!I називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

\!f(x, y, z) за вибраною стороною \!S і пишуть

\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy

Якщо \!S не має взаємно однозначної проекції на площину \!x, y, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по \!S визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо \!S має однозначну проекцію на площину \!y, z або \!x, z, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду

\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz

\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій \!S_i на площину \!y, z або \!x, z.

Нарешті, для трьох функцій \!P(x, y, z), \!Q(x, y, z), \!R(x, y, z), визначених на \!S, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:


\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S}  R\;dx\; dy

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)[ред.ред. код]

1. Нехай поверхня \!S має явне представлення \!z= \phi (x, y), причому \!(x, y) змінюються в області \!S'. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні \!S, для якої кут між нормаллю і віссю \!z є гострим, обчислюється так:

\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y))

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

\!
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z)

де \!S задана рівнянням \!x=\psi(y, z), \!S' — проекція \!S на площину \!y, z, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю \!x гострий кут. Так само

\!
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx

де \!S задана рівнянням \!y=\chi(z, x), \!S' проекція \!S на площину \!x, z, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня \!S задана в параметричній формі: \!x=x(u, v), \!y=y(u, v), \!z=z(u, v), то

\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv

\!
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv

\!
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv

де

\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}

\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}

\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області \!\Gamma площини \!u, v відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду[ред.ред. код]

Якщо \!\alpha, \!\beta, \!\gamma — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями \!x, y і \!z, то

\!
\iint_{S} {P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R}\; dz\; dy = \pm {\iint_{S} {(P\; \cos \alpha + Q\; \cos \beta P\; + R \cos \gamma }\; dS }

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy

має для різних незамкнутих поверхонь \!S_1 і \!S_2 з однією і тією ж границею \!C у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

\!
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}

неперервні в однозв'язній просторовій області \!V (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні \!S в \!V обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

\!
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла[ред.ред. код]

Об'єм тіла[ред.ред. код]

Об'єм \!V тіла (\!V), обмеженого кусково гладкими поверхнями \!S, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy

чи

\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz

чи

\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx


або

\!
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні \!S.

Центр тяжіння та сила притягання[ред.ред. код]

Якщо поверхня \!S покрита масою з поверхневою густиною \!\delta(x, y, z), то повна маса поверхні \!S дорівнює

\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS

координати \!(\xi, \eta, \zeta) центру тяжіння дорівнюють

\!
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS

\!
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS

\!
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS

компоненти сили притягання \!F цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку \!M=(x_0, y_0, z_0) одиничної маси, дорівнюють

\!
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS

\!
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS

\!
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS

\!\gamma= const

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.