Поверхневі інтеграли

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Стрічка Мебіуса

Зміст

1 Поверхневі інтеграли
2 Площа гладкої поверхні
3 Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду
4 Геометричні і фізичні додатки поверхневого інтеграла
- 4.1 Об'єм тіла
- 4.2 Центр тяжіння та сила притягання
5 Дивіться також
6 Література

[ред.] Поверхневі інтеграли

Кусок поверхні $\!S$ , заданий у параметричні формі: $\!x=x(u, v)$ , $\!y=y(u, v)$ , $\!z=z(u, v)$ , причому (u, v) пробігають деяку область $\!\Gamma$ площини, називається гладким, якщо різні пари значень $\!(u, v)$ дають різні точки $\!S$ , часткові похідні функцій $\!x=x(u, v)$ , $\!y=y(u, v)$ , $\!z=z(u, v)$ неперервні і завжди

$\!A^2+B^2+C^2>0,$

$A=\begin{vmatrix} {\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\ {\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\ \end{vmatrix}$

$\;B=\begin{vmatrix} {\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\ {\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\ \end{vmatrix}$

$\;C=\begin{vmatrix} {\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\ {\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\ \end{vmatrix}$

Якщо поверхня $\!S$ складається з кінцевого числа гладких кусків поверхні, то $\!S$ називається кусково гладкою.

Гладка поверхня $\!S$ називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на $\!S$ , виходячи з будь-якої точки $\!M_0$ на $\!S$ , повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в $\!M_0$ . Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

[ред.] Площа гладкої поверхні

Хай поверхня $\!S$ задана параметрично: $\!x=x(u, v)$ , $\!y=y(u, v)$ , $\!z=z(u, v)$ , причому $\!u$ і $\!v$ пробігають деяку область $\!\Gamma$ площини $\!u$ , $\!v$ . Тоді площа $\!S$ поверхні визначається поверхневим інтегралом

$\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv$ , де $E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2$

$F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}$

$G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2$ ;

підінтегральний вираз

$dS=\sqrt{EG-F^2} dudv$

називається елементом поверхні.

Якщо $\!S$ задана явно рівнянням $\!z=\phi(x, y)$ , причому $\!(x, y)$ пробігають область $\!S'$ (проекцію області $\!S$ на площину x0y), то:

$S=\iint_{\S \prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy$ ,

де

$p={\partial z \over \partial x}$ , $q={\partial z \over \partial y}$

[ред.] Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду

[ред.] Поверхневі інтеграли 1-го роду

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція $\!f(x, y, z)$ визначена і обмежена на гладкій поверхні $\!S$ . Хай $\!Z$ позначає деяке розбиття $\!S$ на кінцеву кількість елементарних поверхонь $\!S_i$ (i = 1, 2 …. і) з площами $\!\Delta S_i$ , $\!\Delta(Z)$ є найбільшим діаметром елементарних поверхонь $\!S_i$ і $\!M_i=(x_i, y_i, z_i)$ — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

$\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $\!Z$ . Якщо існує число $\!I$ з такою властивістю: для кожного $\!\epsilon>0$ знайдеться таке $\! \delta(\epsilon)>0$ , що для кожного розбиття $\!Z$ з $\!\Delta(Z)<\delta$ , незалежно від вибору точок $\!M_i$ $\!|S(Z) - I|<\delta$ , то $\!I$ називається поверхневим інтегралом 1-го роду від $\!f(x, y, z)$ по поверхні $\!S$ і записується

$\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds$

Для окремого випадку підінтегрального виразу $\!f(x, y, z) \equiv 1$

число $\!I$ дає площу $\!S$ поверхні $\!S$ .

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

$\!x=x(u, v)$ , $\!y=y(u, v)$ , $\!z=z(u, v)$ ,

причому $\!u$ та $\!v$ пробігають область $\!\Gamma$ площини $\!u$ , $\!v$

$\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv$

Якщо поверхня задана явно рівнянням $\!z=\phi(x, y)$ причому $\!(x, y)$ пробігають область $\!S'$ , то

$\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy$

Аналогічні формули вірні, якщо $\!S$ представлена рівняннями виду $\!x=\psi(y, z)$ чи $\!y=\chi(x, z)$

[ред.] Поверхневі інтеграли 2-го роду

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні $\!S$ ; на кожній замкнутій кривій на $\!S$ визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні $\!S$ , розташованої однозначно над площиною $\!x, y$ і заданою явно рівнянням $\!z=\phi(x, y)$ , визначена обмежена функцією $\!f(x, y, z)$ . Нехай $\!Z$ є розбиття поверхні $\!S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $\!S_i$ , $\!(i=1, 2, .... n)$ , $\!\Delta{Z}$ — найбільший діаметр елементарних поверхонь, $\!M_i=(x_i, y_i, z_i)$ — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні $\!S_i$ . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні $\!S_i$ визначає напрям обходу в площині $\!x, y$ , біля кордону проекції $\!S'_i$ . Площа $\!\Delta S'_i$ цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції $\!S'_i$ проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

$\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $\!Z$ . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут $\!f(M_i)$ множиться не на площу $\!\Delta S'_i$ (елементарній поверхні $\! S_i$ а на взяту із знаком площа $\!\Delta S'_i$ проекції $\!S'_i$ поверхні $\! S_i$ на площину $\!x, y$ .

Якщо існує число $\!I$ з такою властивістю: для кожного $\!\epsilon>0$ знайдеться таке $\!\delta(\epsilon)>0$ , що для кожного розбиття $\!Z$ з $\!\Delta(Z)<\delta$ , незалежно від вибору точок $\!M_i$ , завжди | $\!|S(Z)-I|<\epsilon$ , то $\!I$ називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

$\!f(x, y, z)$ за вибраною стороною $\!S$ і пишуть

$\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy$

Якщо $\!S$ не має взаємно однозначної проекції на площину $\!x, y$ , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по $\!S$ визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо $\!S$ має однозначну проекцію на площину $\!y, z$ або $\!x, z$ , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду

$\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz$

$\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx$

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій $\!S_i$ на площину $\!y, z$ або $\!x, z$ .

Нарешті, для трьох функцій $\!P(x, y, z)$ , $\!Q(x, y, z)$ , $\!R(xx, y, z)$ , визначених на $\!S$ , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:

$\! \iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; xy$

[ред.] Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня $\!S$ має явне представлення $\!z= \phi (x, y)$ , причому $\!(x, y)$ змінюються в області $\!S'$ . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні $\!S$ , для якої кут між нормаллю і віссю $\!z$ є гострим, обчислюється так:

$\! \iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))$

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

$\! \iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y))$

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

$\! \iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z)$

де $\!S$ задана рівнянням $\!x=\psi(y, z)$ , $\!S'$ — проекція $\!S$ на площину $\!y, z$ , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю $\!x$ гострий кут. Так само

$\! \iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx$

де $\!S$ задана рівнянням $\!y=\chi(z, x)$ , $\!S'$ проекція $\!S$ на площину $\!x, z$ , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня $\!S$ задана в параметричній формі: $\!x=x(u, v)$ , $\!y=y(u, v)$ , $\!z=z(u, v)$ , то

$\! \iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv$

$\! \iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv$

$\! \iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv$

де

$\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}$

$\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}$

$\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}$

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області $\!\Gamma$ площини $\!u, v$ відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

$\! \iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv$

[ред.] Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду

Якщо $\!\alpha$ , $\!\beta$ , $\!\gamma$ — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями $\!x, y$ і $\!z$ , то

$\! \iint_{S} {P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R}\; dz\; dy = \pm {\iint_{S} {(P\; \cos \alpha + Q\; \cos \beta P\; + R \cos \gamma }\; dS }$

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

$\! \iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy$

має для різних незамкнутих поверхонь $\!S_1$ і $\!S_2$ з однією і тією ж границею $\!C$ у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

$\! P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}$

неперервні в однозв'язній просторовій області $\!V$ (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні $\!S$ в $\!V$ обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли