Повна категорія

Категорія называється повною у малому, якщо у ній будь-яка (мала) діаграма має границю. Дуальне поняття — коповна у малому категорія, тобто та, у якій будь-яка мала діаграма має кограницю. Аналогічно визначається кінцева повнота і взагалі α-повнота для будь-якого регулярного кардинала α. З них усіх найбільш використовуваною є повнота у малому, тому категорії, повні у малому, називаються просто повними. Відзначимо, що це не означає існування границь взагалі усіх (не обов'язково малих) діаграм, бо така категорія з необхідністю була б передпорядком.

Категорія, яка є одночасно повною і коповною, називається біповною.

Приклади

• Наступні категорії біповні:
  • категорія множин $\mathcal{S}et$;
  • категорія груп $\mathcal{G}rp$;
  • категорія кілець $\mathcal{R}ing$;
  • категорія абелевих груп $\mathcal{A}b$;
  • категорія топологічних просторів $\mathcal{T}op$;
  • категорія компактних хаусдорфових просторів $\mathcal{C}omp\mathcal{H}$;
  • категорія малих категорій $\mathcal{C}at$;
• Наступні категорії скінченно біповні, але не є повними або коповними:
  • категорія скінченних множин $f{S}et$;
  • категорія скінченновимірних векторних просторів над полем $K$ $fd-\mathcal{V}ect_K$;
  • категорія скінченних груп $f\mathcal{G}rp$;
• Взагалі, якщо $\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}$ — категорія моделей деякої алгебраїчної теорії $\mathcal{T}$, то $\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}$ повна і коповна, так як вона рефлективна у $\mathrm{Func}(\mathcal{T},\mathcal{S}et)$. Нагадаємо, що алгебраїчна теорія допускає лише умову на операції, які є тотожностями (жодних кванторів!). Скажімо, категорія полів не є категорією моделей алгебраїчної теорії, тому попереднє твердження до неї незастосовне. Вона не є повною або коповною.
• (теорема про границю з параметром) Якщо категорія $\mathcal{C}$ повна (коповна), то категорія $\mathrm{Func}(\mathcal{A},\mathcal{C})$ повна (коповна) для будь-якої категорії $\mathcal{A}$, при чому границі обраховуються поточково.
• Передпорядок повний, якщо у ньому існує найбільший елемент і будь-яка множина елементів має точну верхню грань. Аналогічно, він коповний, якщо має найменьший елемент і будь-яка множина елементів має точну нижню грань.
• Категорія метричних просторів $\mathcal{M}etr$ скінченно повна, але не є повною і не має навіть скінченних кодобутків.

Властивості

• Якщо у категорії існує термінальний об'єкт, будь-яка пара паралельних морфізмів $f,g:a\to b$ має урівнювач і для будь-яких двох об'єктів існує добуток, то категорія є скінченно повною. Якщо крім того інсують усі малі добутки об'єктів, то категорія повна у малому.
• Дуально, якщо у категорії існує початковий об'єкт, для будь-яких двох паралельних морфізмів існує коурівнювач та існує [кодобуток]] усіх пар об'єктів, то категорія є скінченно коповною.
• (Фрейд) Якщо мала категорія повна у малому, то вона є передпорядком.
• Якщо категорія $C$ повна у малому, то для будь-якої малої категорії $A$ будь-який функтор $F\colon A\to C$ має праве розширення Кана $\mathrm{Ran}_K F$ за будь-яким функтором $K\colon A\to B$, при чому будь-яке таке розширення Кана є поточковим. Твердження явно випливає з подання поточкового розширення Кана як границі.

Література

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Мир, 1983. — 487 с.
• F. Borceux {{{Заголовок}}} Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1