Повна категорія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Категорія называється повною у малому, якщо у ній будь-яка (мала) діаграма має границю. Дуальне поняття — коповна у малому категорія, тобто та, у якій будь-яка мала діаграма має кограницю. Аналогічно визначається кінцева повнота і взагалі α-повнота для будь-якого регулярного кардинала α. З них усіх найбільш використовуваною є повнота у малому, тому категорії, повні у малому, називаються просто повними. Відзначимо, що це не означає існування границь взагалі усіх (не обов'язково малих) діаграм, бо така категорія з необхідністю була б передпорядком.

Категорія, яка є одночасно повною і коповною, називається біповною.

Приклади[ред.ред. код]

  • Наступні категорії біповні:
  • Наступні категорії скінченно біповні, але не є повними або коповними:
    • категорія скінченних множин f{S}et;
    • категорія скінченновимірних векторних просторів над полем K fd-\mathcal{V}ect_K;
    • категорія скінченних груп f\mathcal{G}rp;
  • Взагалі, якщо \mathrm{Mod}_{\mathcal{T}} — категорія моделей деякої алгебраїчної теорії \mathcal{T}, то \mathrm{Mod}_{\mathcal{T}} повна і коповна, так як вона рефлективна у \mathrm{Func}(\mathcal{T},\mathcal{S}et). Нагадаємо, що алгебраїчна теорія допускає лише умову на операції, які є тотожностями (жодних кванторів!). Скажімо, категорія полів не є категорією моделей алгебраїчної теорії, тому попереднє твердження до неї незастосовне. Вона не є повною або коповною.
  • (теорема про границю з параметром) Якщо категорія \mathcal{C} повна (коповна), то категорія \mathrm{Func}(\mathcal{A},\mathcal{C}) повна (коповна) для будь-якої категорії \mathcal{A}, при чому границі обраховуються поточково.
  • Передпорядок повний, якщо у ньому існує найбільший елемент і будь-яка множина елементів має точну верхню грань. Аналогічно, він коповний, якщо має найменьший елемент і будь-яка множина елементів має точну нижню грань.
  • Категорія метричних просторів \mathcal{M}etr скінченно повна, але не є повною і не має навіть скінченних кодобутків.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо у категорії існує термінальний об'єкт, будь-яка пара паралельних морфізмів f,g:a\to b має урівнювач і для будь-яких двох об'єктів існує добуток, то категорія є скінченно повною. Якщо крім того інсують усі малі добутки об'єктів, то категорія повна у малому.
  • Дуально, якщо у категорії існує початковий об'єкт, для будь-яких двох паралельних морфізмів існує коурівнювач та існує [кодобуток]] усіх пар об'єктів, то категорія є скінченно коповною.
  • (Фрейд) Якщо мала категорія повна у малому, то вона є передпорядком.
  • Якщо категорія C повна у малому, то для будь-якої малої категорії A будь-який функтор F\colon A\to C має праве розширення Кана \mathrm{Ran}_K F за будь-яким функтором K\colon A\to B, при чому будь-яке таке розширення Кана є поточковим. Твердження явно випливає з подання поточкового розширення Кана як границі.

Література[ред.ред. код]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Мир, 1983. — 487 с.
  • F. Borceux {{{Заголовок}}} Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1