Повний метричний простір

Означення

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною.

Критерій повноти метричного простору

Для того, щоб метричний простір був повним необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка стяжна послідовність замкнених вкладених куль мала непорожній переріз.

Приклади повних метричних просторів

• Метричний простір $(\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$ (тобто з евклідововою метрикою). Коротке позначення цього простору: $\mathbb{R}^n$.

• Метричний простір $(\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|$. Коротке позначення цього простору: $\mathbb{R}_1^n$.

• Метричний простір $(\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\max_i |x_i-y_i|$. Коротке позначення цього простору: $\mathbb{R}_\infty^n$.

• Метричний простір $(X,\rho), \; X=\{x=(x_1,x_2,...,x_n,...): \; \sum_{n=1}^\infty x_n<+\infty, x_n\in \R, n\in\N\}, \rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^\infty (x_i-y_i)^2}$. Коротке позначення цього простору: $\ l_2$.

• Метричний простір $\ (C[a,b],\rho)$, де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $\rho$ — чебишовська (рівномірна) метрика, тобто $\rho(x(t),y(t)) = \max_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)|$. Коротке позначення цього простору: C[a,b].

Приклад неповного метричного простору

• Метричний простір (C[a,b],d), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $\rho$ — метрика, означена рівністю: $\rho(x(t),y(t))=\sqrt{\int_a^b (x(t)-y(t))^2 dt}$. Коротке позначення цього простору: $C_2[a,b]$.

Література

• Функціональний аналіз, спеціальність “Прикладна математика”. Лекція № 7. Повні метричні простори. Кафедра обчислювальної математики факультету кібернетики КНУ (укр.)