Повний метричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

1 Означення
2 Критерій повноти метричного простору
3 Приклади повних метричних просторів
4 Приклад неповного метричного простору

[ред.] Означення

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною.

[ред.] Критерій повноти метричного простору

Для того, щоб метричний простір був повним необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка стяжна послідовність замкнених вкладених куль мала непорожній переріз.

[ред.] Приклади повних метричних просторів

Метричний простір $(\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$ (тобто з евклідововою метрикою). Коротке позначення цього простору: $\mathbb{R}^n$ .

Метричний простір $(\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|$ . Коротке позначення цього простору: $\mathbb{R}_1^n$ .

Метричний простір $(\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\max_i |x_i-y_i|$ . Коротке позначення цього простору: $\mathbb{R}_\infty^n$ .

Метричний простір $(X,\rho), \; X=\{x=(x_1,x_2,...,x_n,...): \; \sum_{n=1}^\infty x_n<+\infty, x_n\in \R, n\in\N\}, \rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^\infty (x_i-y_i)^2}$ . Коротке позначення цього простору: $\ l_2$ .

Метричний простір $\ (C[a,b],\rho)$ , де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $ρ$ — чебишовська (рівномірна) метрика, тобто $\rho(x(t),y(t)) = \max_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)|$ . Коротке позначення цього простору: C[a,b].

[ред.] Приклад неповного метричного простору

Метричний простір (C[a,b],d), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $ρ$ — метрика, означена рівністю: $\rho(x(t),y(t))=\sqrt{\int_a^b (x(t)-y(t))^2 dt}$ . Коротке позначення цього простору: $C 2 [a, b]$ .

Повний метричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Означення

[ред.] Критерій повноти метричного простору

[ред.] Приклади повних метричних просторів

[ред.] Приклад неповного метричного простору

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами