Показникова функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Показникова функція y = e^x

Показнико́ва або ж Експоненці́йна фу́нкціяфункція виду f(x) = a^x\,\!, де ~a — стале число (додатне, але не дорівнює одиниці).

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — ~u^v, введена Лейбніцем в 1695 році.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експонентою (дійсною або комплексною).

Визначення[ред.ред. код]

Нехай a — додатне дійсне число, xраціональне число: x=\frac{m}{n}. Тоді a^x\,\! визначається за такими правилами.

  • Якщо \ x>0, то a^x=\sqrt[n]{a^m}.
  • Якщо \ x=0, то \ a^x=1.
  • Якщо \ x<0, то a^x=\frac {1} {a^{|x|}} (для \ a>0).

Для довільного дійсного показника x значення a^x можна визначити як границю послідовності, де a^{r_n} - раціональні числа, що сходяться до x. Для експоненти є і інші визначення через границю, наприклад:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

Основні властивості[ред.ред. код]

Дійсна показникова функція визначена на всій дійсній осі і більше нуля. При a>1 вона всюди зростає; при 0<a<1 функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

  • a^0 = 1\,\!
  • a^{x+y} = a^x \, a^y
  • \ (a^x)^y = a^{xy}

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідна {d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.

Експонента[ред.ред. код]

e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = ax (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2x (точкова крива) та 4x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента (\exp) — функція \exp(x)=e^x \, , де e — основа натурального логарифма (e\approx 2{,}718\,281\,828\,459 - число Ейлера).

Властивості[ред.ред. код]

Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона усюди зростає і більше нуля. Зворотна функція до неї — натуральний логарифм.

Експонента нескінченно диференційована. Її похідна в точці нуль дорівнює "1", тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b) \,. Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид \exp(ct)\,, де c — деяка константа.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненціальна функція може бути визначена двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

або через границю:

e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+x/n)^n

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Додаткова інформація[ред.ред. код]