Показникова функція

Показникова функція $y = e^x$

Показнико́ва або ж Експоненці́йна фу́нкція — функція виду $f(x) = a^x\,\!$, де $~a$ — стале число (додатне, але не дорівнює одиниці).

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — $~u^v$, введена Лейбніцем в 1695 році.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експонентою (дійсною або комплексною).

Визначення

Нехай $a$ — додатне дійсне число, $x$ - раціональне число: $x=\frac{m}{n}$. Тоді $a^x\,\!$ визначається за такими правилами.

• Якщо $\ x>0$, то $a^x=\sqrt[n]{a^m}$.
• Якщо $\ x=0$, то $\ a^x=1$.
• Якщо $\ x<0$, то $a^x=\frac {1} {a^{|x|}}$ (для $\ a>0$).

Для довільного дійсного показника $x$ значення $a^x$ можна визначити як границю послідовності, де $a^{r_n}$ - раціональні числа, що сходяться до $x$. Для експоненти є і інші визначення через границю, наприклад:

$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.$

Основні властивості

Дійсна показникова функція визначена на всій дійсній осі і більше нуля. При $a>1$ вона всюди зростає; при $0<a<1$ функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

• $a^0 = 1\,\!$
• $a^{x+y} = a^x \, a^y$
• $\ (a^x)^y = a^{xy}$

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0$

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідна ${d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.$

Експонента

e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = a^x (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2^x (точкова крива) та 4^x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента ($\exp$) — функція $\exp(x)=e^x \,$, де e — основа натурального логарифма ($e\approx 2{,}718\,281\,828\,459$ - число Ейлера).

Властивості

Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона усюди зростає і більше нуля. Зворотна функція до неї — натуральний логарифм.

Експонента нескінченно диференційована. Її похідна в точці нуль дорівнює "1", тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b) \,$. Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид $\exp(ct)\,$, де $c$ — деяка константа.

Формальне визначення

Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненціальна функція може бути визначена двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.$

або через границю:

$e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+x/n)^n$

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Див. також

• Експонента комплексної змінної

Література

1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Додаткова інформація

• Способи розв’язання показникових рівнянь (укр.)