Поле напрямків

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Поле напрямків y'=x^2-x-1, з синім, червоним та аквамариновим графіками, які позначають \frac{1}{3} x^3 -\frac{1}{2} x^2-x+4, \frac{1}{3} x^3 -\frac{1}{2} x^2-x, та \frac{1}{3} x^3 -\frac{1}{2} x^2-x - 4 відповідно.

В математиці, поле напрямків є графічним зображенням розв'язків диференціального рівняння першого порядку. Його можна побудувати не розв'язуючи дифрівняння аналітично, тому воно корисне. Його зображення використовують щоб якісно оцінити розв'язок, чи чисельно його отримати.

Означення[ред.ред. код]

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь:

\frac{dx_1}{dt}=f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)
\frac{dx_2}{dt}=f_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)
\vdots
\frac{dx_n}{dt}=f_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)

поле напрямків є масивом позначок напрямків у фазовому просторі (кількість вимірів простору залежить від кількості змінних). Кожна позначка напрямку розміщується у точці (x_1,x_2,\ldots,x_n) паралельно вектору

\begin{pmatrix} 1 \\ f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ f_2(x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ \vdots \\ f_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{pmatrix}.

Кількість, розміщення, та довжина позначок напрямку може бути довільною. Розміщуються вони зазвичай у точках (x_1,x_2,\ldots,x_n)=(a_1 \Delta x_1, a_2 \Delta x_2, \ldots, a_n \Delta x_n) для довільних (зазвичай однакових) \Delta x_i, та для цілих a_i, які не виходять за заданий інтервал. Довжина позначок зазвичай теж однакова, і одинична, чи не більша за найменше з \Delta x_i.

Застосування[ред.ред. код]

За допомогою комп'ютерів можна швидко малювати складні поля напрямків, і отримувати уявлення про те як виглядає розв'язок, перед тим, як приступати до його аналітичного виведення.

Якщо немає явного загального розв'язку, комп'ютер може використати поле напрямків (навіть якщо вони не показуються) щоб чисельно знайти графічний розв'язок. Приклади таких методів це Метод Ейлера, чи Метод Рунге-Кутти.

Посилання[ред.ред. код]

  • П.П. Овчинников, В.М. Михайличенко Вища математика (Частина 2). — Техніка. — ISBN 966-575-100-X.