Поле розкладу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем K — найменше розширення поля, над яким p розкладається в добуток лінійних множників:

p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n),\  x_1,\dots,x_n\in L, \quad L\supset K.

При цьому L= K(x_1,\dots,x_n), тому поле розкладу L також називається розширенням, одержаним приєднанням до K всіх коренів даного многочлена.

Аналогічно вводиться поняття поля розкладу сім'ї многочленів p_i(x), i\in I — розширення L, для якого кожен pi розкладається в L[x] на лінійні множники і L породжується над K всіма коренями pi. Поле розкладу скінченної множини многочленів p1,p2...pn, буде, очевидно, полем розкладу їх добутку p=p1p2...pn Розширення поля, що є полем розкладу деякої сім'ї многочленів називається нормальним розширенням.

Властивості[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

Побудова поля розкладу[ред.ред. код]

Нехай K — поле і p(x) многочлен над K степеня n. Загалом процедура побудови поля розкладу многочлена p(x) полягає в побудові послідовності полів K=K_0, K_1, \dots K_{r-1}, K_r=L, де K_i є розширенням K_{i-1}, що містить один новий корінь p(x). Оскільки p(x) має щонайбільше n різних коренів, побудова вимагає щонайбільше n розширень. Розширення K_i можна побудувати за допомогою наступних кроків:

  • Многочлен p(x) розкладається в добуток многочленів незвідних над K_i p(x) = f_1(x)f_2(x) \cdots f_k(x).
  • Нехай f(x) = f_i(x) — деякий з незвідних множників з попереднього пункту.
  • Розширення K_{i+1} поля K_{i} визначається як фактор-кільце K_{i+1}=K_i[x]/(f(x)) де (f(x)) — ідеал в кільці K_i[x] породжений f(x).
  • Процедура побудови K_{i+1} продовжується доки не одержується поле в якому p(x) розкладається на лінійні множники.

Незвідні многочлени f_i можуть обиратися в довільному порядку. Одержані поля розкладу при цьому будуть ізоморфними.

Оскільки f(x) є незвідним (f(x)) є максимальним ідеалом і тому K_i[x]/(f(x)) — поле. Якщо \pi : K_i[x] \to K_i[x]/(f_1(x)) є проекцією кільця на фактор кільце, то f(\pi(x)) = \pi(f(x)) = f(x) \bmod f(x) = 0 отже \pi(x) є коренем f(x) і також p(x).

Розмірність розширення [K_{i+1} : K_i] рівна степеню відповідного многочлена f(x). Розмірність розширення [L : K] рівна [K_r : K_{r-1}] \cdots [K_2 : K_1][K_1 : F] і не перевищує n!.

Література[ред.ред. код]