Поле часток

В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.

Побудова [ред.]

Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:

Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.

Визначивши додавання і множення на елементах E наступним чином

Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)

Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення.

Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається $\frac{a}{b}$ , дані класи називаються частками або дробами.

Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості :

Скорочення дробу : для ненульового c , $\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}$ ;
комутативність і асоціативність операцій ;
існування нульового елемента $\frac{0}{x}$ для додавання:

$\frac ab + \frac 0x = \frac{ax}{bx} = \frac ab$

існування одиниці $\frac{x}{x}$ при множенні:

$\frac ab \times \frac cc = \frac{ac}{bc} = \frac ab$

існування елемента $\frac{-a}{b}$ — оберненого при додаванні до $\frac{a}{b}$ ;

$\frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = \frac{0}{b^2}$

існування елемента $\frac{b}{a}$ оберненого при множенні до $\frac{a}{b}$ ;

$\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}= \frac{ab}{ab}$

Дистрибутивність множення відносно додавання :

$\frac{a}{b}\frac{e}{f} + \frac{c}{d}\frac{e}{f}=\frac{aedf + cebf}{bfdf} = \frac{(ad + cb)e}{bdf}=(\frac{a}{b}+ \frac{c}{d})\frac{e}{f}$

Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам $a \in A$ області цілісності відповідають елементи $\frac{a}{1}$ поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.

Приклади [ред.]

Полем часток для кільця $\Z$ цілих чисел є поле $\Q$ раціональних чисел .
Нехай $R := { a + b i | a,b \in \Z }$ — кільце гаусових цілих чисел. Тоді $Quot(R) = {c + d i | c,d \in \Q}$ — поле гаусових раціональних чисел.
Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).