Польський інверсний запис

Зворо́тній по́льський за́пис (зворотний бездужковий запис, постфіксна нотація, польський інверсний запис (ПОЛІЗ), англ. RPN — Reverse Polish Notation) — форма запису математичних виразів, в якій знаки операцій розташовано після операндів. Розташування знаків операцій перед операндами використовує польська нотація.

Приклади

Вираз	Традиційна (інфіксна) нотація	Зворотна польська (постфіксна) нотація
a + b × c	a + bc	a b c * +
(a + b) × (z + x)	(a + b)*(z + x)	a b + z x + *
(a + t)*(b × (a + c))(c + d)	(a + t)*(b × (a + c))^(c + d)	a t + b a c + * c d + ^ *

Застосування

Зворотний польський запис є зручним для застосування в обчислювальних пристроях. Наприклад, для обчислення виразу

a + b

слід виконати наступні дії:

• обчислити a
• обчислити b
• скласти результати

Саме така послідовність і задається польським інверсним записом:

a b +

Завдяки цьому ПОЛІЗ здобув досить широке розповсюдження в інженерних мікрокалькуляторах та мікрокомп'ютерах. Зокрема, такі калькулятори виробляли фірми Hewlett-Packard (HP 9100A), Texas Instruments. Практично всі програмовані калькулятори, що вироблялися в СРСР (Б3-34, MK-52, MK-61 та ін.) застосовували зворотну польську нотацію.

Комп'ютерні програми зазвичай під час аналізу формул перетворюють їх на послідовність інструкцій у ПОЛІЗ, і саме в такому порядку вони виконуються.

На основі постфіксної нотації побудовано мову програмування Forth, також вона безпосередньо застосовується у PostScript.

Стековою машиною називається алгоритм, який проводить обчислення за зворотної польської записи^{[Джерело?]}.

Алгоритм для обчислення значення виразу

Для всіх символів робимо наступне:

• Якщо А_і число, то вкласти його у стек;
• Якщо А_і оператор, то:
  • Витягуємо із стеку два числа;
  • Виконуємо дію із числами і результат вкладаємо в стек;
• Якщо А_і є функцією то:
  • Витягуємо із стеку одне число;
  • Визначаємо значення функції із відповідним аргументом та поміщаємо результат у стек;
• В кінці роботи в стеку знаходитиметься результат виразу.

Приклад

Маємо вираз: 12 2 3 4 * 10 5 / + * +
Порядок дій над ним буде наступний:

Крок	Елемент	Стек
1	12	12
2	2	2 12
3	3	3 2 12
4	4	4 3 2 12
5	*	12 2 12
6	10	10 12 2 12
7	5	5 10 12 2 12
8	/	2 12 2 12
9	+	14 2 12
10	*	28 12
11	+	40

Алгоритм для перетворення звичайного запису в бездужковий

Зчитуємо символ поки не закінчаться і для кожного робимо наступне:

• Якщо A_i є числом то виводимо його;
• Якщо символ A_i є функцією завантажити його в стек;
• Якщо символ A_i='(' то поміщаємо його в стек;
• Якщо символ A_i=')' то:
  • До тих пір, поки верхнім елементом стека не стане відкриває дужка, виштовхуємо елементи з стека у вихідний рядок. При цьому відкриває дужка видаляється з стека, але у вихідну рядок не додається. Якщо після цього кроку на вершині стека виявляється символ функції, виштовхуємо його у вихідну рядок. Якщо стек закінчився раніше, ніж ми зустріли відкриває дужку, це означає, що у виразі або невірно поставлений розділовий знак, або не узгодженні дужки.
• Якщо символ A_i є оператором то:

1. поки …

… (Якщо оператор асоційований, або ліво-асоційований) пріоритет оператора менше або дорівнює пріоритету оператора, що знаходиться на вершині стека … … (Якщо оператор право-асоціювання) пріоритет оператора менше пріоритету оператора, що знаходиться на вершині стека … … Виштовхуємо верхні елементи стека у вихідний рядок; 2. Поміщаємо оператор в стек.

Приклад

Маємо рядок «3 +4 * 2 / (1-5) ^ 2». Потрібно перевести її до польського запису

Читаємо «3»
Додаємо «3» до виходу
 Вихід: 3

Читаємо «+»
Вставити «+» в стек
 Вихід: 3
 Стек: +

Читаємо «4»
Додаємо «4» до виходу
 Вихід: 3 4
 Стек: +

Читаємо «*»
Вставляємо «*» в стеку
 Вихід: 3 4
 Стек: + *

Читаємо «2»
Додаємо «2» до виходу
 Вихід: 3 4 2
 Стек: + *

Читаємо «/»
Видаляємо «*» зі стеку і додаємо до виходу, вставляємо «/» в стек
 Вихід: 3 4 2 *
 Стек: + /

Читаємо «(»
Поміщаємо «(» в стек
 Вихід: 3 4 2 *
 Стек: + / (

Читаємо «1»
Додаємо «1», до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1
 Стек: + / (

Читаємо «-»
Вставляємо «-» в стек
 Вихід: 3 4 2 * 1
 Стек: + / (-

Читаємо «5»
Додаємо «5» до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1 5
 Стек: + / (- 

Читаємо «)»
Видаляємо «-» зі стека і додаємо до виходу, видаляємо «(» зі стеку
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 -
 Стек: + / 

Читаємо «^»
Додаємо «^» в стек
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 -
 Стек: + / ^

Читаємо «2»
Додаємо «2» до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 - 2
 Стек: + / ^

Кінець вираження
Витягуємо усі елементи зі стеку і додаємо до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 - 2 ^ / +