Полярний розклад матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця A \! з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

\ A = P U = U P_1,

де

\ P, P_1 — невід'ємноозначені матриці,
\ U — унітарна матриця.

Матриця \ A буде нормальною тоді і тільки тоді, коли \ P, U будуть переставними (що рівнозначно до \ P=P_1).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

\ A = W \Sigma V^*

Знаходження модуля[ред.ред. код]

Оскільки:

\ AA^*=P U U^* P = P^2
\ A^*A=P_1 U U^* P_1 = P_1^2

матриці P, P_1 \! однозначно визначаються як:

\ P =\sqrt{AA^*} = W \Sigma W^*
\ P_1 =\sqrt{A^*A} = V \Sigma V^*

Якщо матриця \ Aнормальна, то \ A^*A=AA^* за визначенням.

Знаходження повороту[ред.ред. код]

і використавши \ U = P^{-1}A отримаємо \ U = W V^*.

Використавши \ U = A P_1^{-1} знову ж отримаємо \ U = W V^*.

Полярний розклад нормальної матриці[ред.ред. код]

Якщо матриця \ A — нормальна, тоді матриці \ P, U, \Sigma — є переставними та нормальними, одже одночасно діагоналізуємими:

\exists \; Q, \Sigma, \Phi: \quad Q \Sigma Q^* =P, \quad Q \Phi Q^* =U,

де

\ Q — унітарна матриці,
\ \Sigma — невід'ємноозначена діагональна матриця,
\ \Phi — унітарна діагональна матриця.

Тоді

 A =\  (Q \Sigma Q^*) (Q \Phi Q^*) = Q (\Sigma \Phi) Q^*власний розклад матриці.

Джерела[ред.ред. код]