Полярний розклад матриці

Квадратна матриця $A \!$ з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

$\ A = P U = U P_1,$

де

$\ P, P_1$ — невід'ємноозначені матриці,

$\ U$ — унітарна матриця.

Матриця $\ A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли $\ P, U$ будуть переставними (що рівнозначно до $\ P=P_1$).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

$\ A = W \Sigma V^*$

Знаходження модуля

Оскільки:

$\ AA^*=P U U^* P = P^2$

$\ A^*A=P_1 U U^* P_1 = P_1^2$

матриці $P, P_1 \!$ однозначно визначаються як:

$\ P =\sqrt{AA^*} = W \Sigma W^*$

$\ P_1 =\sqrt{A^*A} = V \Sigma V^*$

Якщо матриця $\ A$ — нормальна, то $\ A^*A=AA^*$ за визначенням.

Знаходження повороту

і використавши $\ U = P^{-1}A$ отримаємо $\ U = W V^*.$

Використавши $\ U = A P_1^{-1}$ знову ж отримаємо $\ U = W V^*.$

Полярний розклад нормальної матриці

Якщо матриця $\ A$ — нормальна, тоді матриці $\ P, U, \Sigma$ — є переставними та нормальними, одже одночасно діагоналізуємими:

$\exists \; Q, \Sigma, \Phi: \quad Q \Sigma Q^* =P, \quad Q \Phi Q^* =U,$

де

$\ Q$ — унітарна матриці,

$\ \Sigma$ — невід'ємноозначена діагональна матриця,

$\ \Phi$ — унітарна діагональна матриця.

Тоді

$A =\ (Q \Sigma Q^*) (Q \Phi Q^*) = Q (\Sigma \Phi) Q^*$ — власний розклад матриці.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.