Полівектор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мультівектор, р-вектор, векторного простору \ V — елемент деякого зовнішнього ступеня \bigwedge\nolimits^p простору \ V над полем \ K. p-вектор може розумітися як кососиметризований р раз контраваріантний тензор на V.

2-вектор також називають бівектором, а 3-вектор - тривектором. p-вектор дуален до p-форми. Бівектори пов'язані з псевдовекторами та використовуються для представлення обертання.

Неоднозначність представлення бівектора векторами[ред.ред. код]

Розглянемо дві лінійні комбінації векторів \mathbf{a} і \mathbf{b}:

(8) \qquad \mathbf{x} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}, \qquad \mathbf{y} = \gamma \mathbf{a} + \delta \mathbf{b}

Користуючись спочатку лінійністю зовнішнього добутку щодо кожного із аргументів, а потім антисиметричністю, знаходимо:

(8) \qquad \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = (\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}) \wedge (\gamma \mathbf{a} + \delta \mathbf{b}) = 
(\alpha \delta - \beta \gamma) (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})

Коефіцієнт в правій частині формули (8) є визначником матриці трансформації:

(9) \qquad \alpha \delta - \beta \gamma = \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix}

Якщо цей визначник дорівнює одиниці (наприклад матриця трансформації є поворотом в площині \boldsymbol{\sigma}), то бівектор виражається через нові вектори \mathbf{x} і \mathbf{y} так само, як і через старі (порівняйте з формулою (3)):

(10) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y}

Паралельність вектора до бівектора[ред.ред. код]

Нехай ми маємо вектор \mathbf{v} і бівектор \boldsymbol{\sigma}. Розглянемо тривектор, утворений зовнішнім добутком цих величин:

(11) \qquad (\boldsymbol{\sigma} \wedge \mathbf{v})_{ijk} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{v})_{ijk} =
\qquad = \begin{vmatrix} a_i & b_i & v_i \\ a_j & b_j & v_j \\ a_k & b_k & v_k \end{vmatrix} = (a_i b_j - a_j b_i) v_k + (a_k b_i - a_i b_k) v_j + (a_j b_k - a_k b_j) v_i =
\qquad = \sigma_{ij} v_k + \sigma_{ki} v_j + \sigma_{jk} v_i

Якщо вектор \mathbf{v} буде лінійною комбінацією векторів \mathbf{a} і \mathbf{b}, то визначник у формулі (11) перетвориться в нуль, і для цього випадку маємо:

(12) \qquad \sigma_{ij} v_k + \sigma_{ki} v_j + \sigma_{jk} v_i = 0

Алгебраїчна залежність компонент бівектора[ред.ред. код]

Оскільки вектори \mathbf{a} і \mathbf{b} лежать у площині бівектора \boldsymbol{\sigma}, то для них справедлива формула (12), тому для будь-яких індексів i, j, k, l знаходимо:

(13) \qquad \sigma_{ij} \sigma_{kl} + \sigma_{ki} \sigma_{jl} + \sigma_{jk} \sigma_{il} = \sigma_{ij} (a_k b_l - a_l b_k) + \sigma_{ki} (a_j b_l - a_l b_j) + \sigma_{jk} (a_i b_l - a_l b_i) =
\qquad = (\sigma_{ij} a_k + \sigma_{ki} a_j + \sigma_{jk} a_i) b_l - (\sigma_{ij} b_k + \sigma_{ki} b_j + \sigma_{jk} b_i) a_l = 0

Отже бівектор виділяється із множини всіх антисиметричних тензорів тим, що компоненти бівектора алгебраїчно залежні:

(14) \qquad \sigma_{ij} \sigma_{kl} + \sigma_{ki} \sigma_{jl} + \sigma_{jk} \sigma_{il} = 0

(Примітка: формула (14) має деяку схожість з алгебраїчною тотожністю Біанкі для тензора Рімана, і це не випадково)

Ми бачили, що для бівектора виконується рівність (14). Покажемо що навпаки, якщо для деякого антисиметричного тензора виконується рівність (14) то цей тензор буде бівектором, тобто можна за цим тензором побудувати такі два вектори \mathbf{a} і \mathbf{b}, що виконується рівність (1).

Нехай тензор \sigma_{ij} ненульовий, тобто не всі компоненти цього тензора дорівнюють нулю. Нехай для деяких фіксованих індексів k, l маємо \sigma_{kl} \ne 0. Тоді із формули (14) одержуємо для всіх індексів i, j:

(15) \qquad \sigma_{ij} = {\sigma_{ik} \sigma_{il} - \sigma_{jk} \sigma_{il} \over \sigma_{kl}}

В даній системі координат ми можемо наприклад взяти такі два вектора (числа k, l фіксовані):

(16) \qquad a_i = {\sigma_{ik} \over \sigma_{kl}}, \qquad b_i = \sigma_{il}

Очевидно, що тоді формула (1) виконується.

Підрахунок кількості параметрів бівектора[ред.ред. код]

Антисиметричний тензор другого рангу має C_n^2 = {n (n-1) \over 2} алгебраїчно незалежних компонент.

Бівектор за формулою (1) виражається через 2 n чисел a_1, a_2, \dots a_n, b_1, b_2, \dots b_n, але оскільки є деяка довільність у виборі векторів \mathbf{a} і \mathbf{b} (формула 8) і ми можемо в рівності

(17) \qquad \alpha \delta - \beta \gamma = 1

три параметри обрати довільно, то бівектор має 2 n - 3 алгебраїчно незалежних параметра.

Знайдемо «надлишкову» кількість параметрів, якою антисиметричний тензор відрізняється від бівектора:

(18) \qquad \Delta N = {n (n-1) \over 2} - (2 n - 3) = {(n-2) (n-3) \over 2}

З цієї формули ми бачимо, що для дво- і тривимірного простору надлишок дорівнює нулю (тобто кожен антисиметричний тензор є бівектором), для 4-вимірного простору цей надлишок задається одним параметром, для вищих розмірностей цих надлишкових параметрів досить багато.

Представлення антисиметричного тензора бівектором в розмірностях 2 і 3[ред.ред. код]

Якщо розмірність простору менша чотирьох, то у формулі (14) щонайменше два індекса з чотирьох збігаються. Перебором варіантів можна пересвідчитись, що тоді обовязково один із трьох доданків в (14) дорівнює нулю (бо \sigma_{ii} = 0), а два інші рівні за величиною і протилежні за знаком. Тобто рівність (14) виконується завжди для будь-якого антисиметричного тензора. Формула (16) дає обчислення таких векторів \mathbf{a} і \mathbf{b}, що виконується рівність (1).

Норма (величина) бівектора[ред.ред. код]

Далі в цій статті ми будемо припускати існування евклідової метрики, щоб можна було говорити про величини векторів, бівекторів і про кути між ними. Використовуючи метричний тензор, ми можемо піднімати і опускати індекси тензорів. Розглянемо скаляр, який утворюється множенням бівектора на себе з наступною згорткою за відповідними індексами. У наступних формулах ми будемо користуватися правилом Ейнштейна, що у кожному виразі де зустрічаються однакові індекси, за ними відбувається додавання:

(19) \qquad \sigma_{ij} \sigma^{ij} = (a_i b_j - a_j b_i) (a^i b^j - a^i b^j) = a_i b_j a^i b^j - a_i b_j a^j b^i - a_j b_i a^i b^j + a_j b_i a^j b^i =
= 2 (|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2) = 2 |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 (1 - \cos^2 \phi) = 2 (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \phi)^2

У дужках останнього виразу стоїть площа паралелограма, побудованого на векторах \mathbf{a} і \mathbf{b}. Ця плоша і називається нормою бівектора.

(20) \qquad |\boldsymbol{\sigma}| = \sqrt{\sum_{i < j} \sigma_{ij} \sigma^{ij}}

Бівектор як лінійний оператор[ред.ред. код]

Розглянемо згортку бівектора з довільним вектором \mathbf{x}:

(21) \qquad y_i = \sigma_{ij} x^i = (a_i b_j - a_j b_i) x^j = a_i (\mathbf{b} \cdot \mathbf{x}) - b_i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{x})

В результаті цієї операції ми маємо вектор \mathbf{y}, що є лінійною комбінацією векторів \mathbf{a} і \mathbf{b}, тобто лежить в площині \sigma. Якщо вектор \mathbf{x} ортогональний до площини \sigma, то в результаті одержимо нуль. Якщо вектор \mathbf{x} лежить у площині \sigma, наприклад \mathbf{a}, то одержимо ненульовий вектор площини повернутий на \pi / 2, і розтягнутий в |\boldsymbol{\sigma}| разів:

(22) \qquad \mathbf{y} = \mathbf{a} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b} a^2, \; (\mathbf{y} \cdot \mathbf{a}) = 0, \;
\qquad y^2 = (\mathbf{a} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b} a^2) = a^2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - 2 a^2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 + b^2 (a^2)^2 = a^2 (a^2 b^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2) = (|\mathbf{a}| |\boldsymbol{\sigma}|)^2

тобто дію бівектора на вектор можна розкласти на три етапи: проекцію вектора на площину, розтягнення, і поворот в площині на кут \pi / 2.

Література[ред.ред. код]