Полівектор

Мультівектор, р-вектор, векторного простору $\ V$ — елемент деякого зовнішнього ступеня $\bigwedge\nolimits^p$ простору $\ V$ над полем $\ K$. p-вектор може розумітися як кососиметризований р раз контраваріантний тензор на $V$.

2-вектор також називають бівектором, а 3-вектор - тривектором. p-вектор дуален до p-форми. Бівектори пов'язані з псевдовекторами та використовуються для представлення обертання.

Неоднозначність представлення бівектора векторами

Розглянемо дві лінійні комбінації векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$:

$(8) \qquad \mathbf{x} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}, \qquad \mathbf{y} = \gamma \mathbf{a} + \delta \mathbf{b}$

Користуючись спочатку лінійністю зовнішнього добутку щодо кожного із аргументів, а потім антисиметричністю, знаходимо:

$(8) \qquad \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = (\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}) \wedge (\gamma \mathbf{a} + \delta \mathbf{b}) = (\alpha \delta - \beta \gamma) (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})$

Коефіцієнт в правій частині формули (8) є визначником матриці трансформації:

$(9) \qquad \alpha \delta - \beta \gamma = \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix}$

Якщо цей визначник дорівнює одиниці (наприклад матриця трансформації є поворотом в площині $\boldsymbol{\sigma}$), то бівектор виражається через нові вектори $\mathbf{x}$ і $\mathbf{y}$ так само, як і через старі (порівняйте з формулою (3)):

$(10) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y}$

Паралельність вектора до бівектора

Нехай ми маємо вектор $\mathbf{v}$ і бівектор $\boldsymbol{\sigma}$. Розглянемо тривектор, утворений зовнішнім добутком цих величин:

$(11) \qquad (\boldsymbol{\sigma} \wedge \mathbf{v})_{ijk} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{v})_{ijk} =$

$\qquad = \begin{vmatrix} a_i & b_i & v_i \\ a_j & b_j & v_j \\ a_k & b_k & v_k \end{vmatrix} = (a_i b_j - a_j b_i) v_k + (a_k b_i - a_i b_k) v_j + (a_j b_k - a_k b_j) v_i =$

$\qquad = \sigma_{ij} v_k + \sigma_{ki} v_j + \sigma_{jk} v_i$

Якщо вектор $\mathbf{v}$ буде лінійною комбінацією векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$, то визначник у формулі (11) перетвориться в нуль, і для цього випадку маємо:

$(12) \qquad \sigma_{ij} v_k + \sigma_{ki} v_j + \sigma_{jk} v_i = 0$

Алгебраїчна залежність компонент бівектора

Оскільки вектори $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$ лежать у площині бівектора $\boldsymbol{\sigma}$, то для них справедлива формула (12), тому для будь-яких індексів $i, j, k, l$ знаходимо:

$(13) \qquad \sigma_{ij} \sigma_{kl} + \sigma_{ki} \sigma_{jl} + \sigma_{jk} \sigma_{il} = \sigma_{ij} (a_k b_l - a_l b_k) + \sigma_{ki} (a_j b_l - a_l b_j) + \sigma_{jk} (a_i b_l - a_l b_i) =$

$\qquad = (\sigma_{ij} a_k + \sigma_{ki} a_j + \sigma_{jk} a_i) b_l - (\sigma_{ij} b_k + \sigma_{ki} b_j + \sigma_{jk} b_i) a_l = 0$

Отже бівектор виділяється із множини всіх антисиметричних тензорів тим, що компоненти бівектора алгебраїчно залежні:

$(14) \qquad \sigma_{ij} \sigma_{kl} + \sigma_{ki} \sigma_{jl} + \sigma_{jk} \sigma_{il} = 0$

(Примітка: формула (14) має деяку схожість з алгебраїчною тотожністю Біанкі для тензора Рімана, і це не випадково)

Ми бачили, що для бівектора виконується рівність (14). Покажемо що навпаки, якщо для деякого антисиметричного тензора виконується рівність (14) то цей тензор буде бівектором, тобто можна за цим тензором побудувати такі два вектори $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$, що виконується рівність (1).

Нехай тензор $\sigma_{ij}$ ненульовий, тобто не всі компоненти цього тензора дорівнюють нулю. Нехай для деяких фіксованих індексів $k, l$ маємо $\sigma_{kl} \ne 0$. Тоді із формули (14) одержуємо для всіх індексів $i, j$:

$(15) \qquad \sigma_{ij} = {\sigma_{ik} \sigma_{il} - \sigma_{jk} \sigma_{il} \over \sigma_{kl}}$

В даній системі координат ми можемо наприклад взяти такі два вектора (числа $k, l$ фіксовані):

$(16) \qquad a_i = {\sigma_{ik} \over \sigma_{kl}}, \qquad b_i = \sigma_{il}$

Очевидно, що тоді формула (1) виконується.

Підрахунок кількості параметрів бівектора

Антисиметричний тензор другого рангу має $C_n^2 = {n (n-1) \over 2}$ алгебраїчно незалежних компонент.

Бівектор за формулою (1) виражається через $2 n$ чисел $a_1, a_2, \dots a_n, b_1, b_2, \dots b_n$, але оскільки є деяка довільність у виборі векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$ (формула 8) і ми можемо в рівності

$(17) \qquad \alpha \delta - \beta \gamma = 1$

три параметри обрати довільно, то бівектор має $2 n - 3$ алгебраїчно незалежних параметра.

Знайдемо «надлишкову» кількість параметрів, якою антисиметричний тензор відрізняється від бівектора:

$(18) \qquad \Delta N = {n (n-1) \over 2} - (2 n - 3) = {(n-2) (n-3) \over 2}$

З цієї формули ми бачимо, що для дво- і тривимірного простору надлишок дорівнює нулю (тобто кожен антисиметричний тензор є бівектором), для 4-вимірного простору цей надлишок задається одним параметром, для вищих розмірностей цих надлишкових параметрів досить багато.

Представлення антисиметричного тензора бівектором в розмірностях 2 і 3

Якщо розмірність простору менша чотирьох, то у формулі (14) щонайменше два індекса з чотирьох збігаються. Перебором варіантів можна пересвідчитись, що тоді обовязково один із трьох доданків в (14) дорівнює нулю (бо $\sigma_{ii} = 0$), а два інші рівні за величиною і протилежні за знаком. Тобто рівність (14) виконується завжди для будь-якого антисиметричного тензора. Формула (16) дає обчислення таких векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$, що виконується рівність (1).

Норма (величина) бівектора

Далі в цій статті ми будемо припускати існування евклідової метрики, щоб можна було говорити про величини векторів, бівекторів і про кути між ними. Використовуючи метричний тензор, ми можемо піднімати і опускати індекси тензорів. Розглянемо скаляр, який утворюється множенням бівектора на себе з наступною згорткою за відповідними індексами. У наступних формулах ми будемо користуватися правилом Ейнштейна, що у кожному виразі де зустрічаються однакові індекси, за ними відбувається додавання:

$(19) \qquad \sigma_{ij} \sigma^{ij} = (a_i b_j - a_j b_i) (a^i b^j - a^i b^j) = a_i b_j a^i b^j - a_i b_j a^j b^i - a_j b_i a^i b^j + a_j b_i a^j b^i =$

$= 2 (|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2) = 2 |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 (1 - \cos^2 \phi) = 2 (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \phi)^2$

У дужках останнього виразу стоїть площа паралелограма, побудованого на векторах $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$. Ця плоша і називається нормою бівектора.

$(20) \qquad |\boldsymbol{\sigma}| = \sqrt{\sum_{i < j} \sigma_{ij} \sigma^{ij}}$

Бівектор як лінійний оператор

Розглянемо згортку бівектора з довільним вектором $\mathbf{x}$:

$(21) \qquad y_i = \sigma_{ij} x^i = (a_i b_j - a_j b_i) x^j = a_i (\mathbf{b} \cdot \mathbf{x}) - b_i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{x})$

В результаті цієї операції ми маємо вектор $\mathbf{y}$, що є лінійною комбінацією векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$, тобто лежить в площині $\sigma$. Якщо вектор $\mathbf{x}$ ортогональний до площини $\sigma$, то в результаті одержимо нуль. Якщо вектор $\mathbf{x}$ лежить у площині $\sigma$, наприклад $\mathbf{a}$, то одержимо ненульовий вектор площини повернутий на $\pi / 2$, і розтягнутий в $|\boldsymbol{\sigma}|$ разів:

$(22) \qquad \mathbf{y} = \mathbf{a} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b} a^2, \; (\mathbf{y} \cdot \mathbf{a}) = 0, \;$

$\qquad y^2 = (\mathbf{a} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b} a^2) = a^2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - 2 a^2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 + b^2 (a^2)^2 = a^2 (a^2 b^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2) = (|\mathbf{a}| |\boldsymbol{\sigma}|)^2$

тобто дію бівектора на вектор можна розкласти на три етапи: проекцію вектора на площину, розтягнення, і поворот в площині на кут $\pi / 2$.

Література

• Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — Наука, Москва, 1980.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.