Поліноми Лаґерра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поліноми Лаґерраортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.


Визначення[ред.ред. код]

Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння


x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:


L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).

Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:

L_0(x) = 1\,
L_1(x) = 1 - x\,

і визначити наступні поліноми за допомогою формули:

L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right).

Приклади[ред.ред. код]

Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
Графіки поліномів Лаґерра.

Узагальнені поліноми Лаґерра[ред.ред. код]

Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.

Тоді звичайні поліноми Лаґерра є частковим випадком:

E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.

Узагальнений поліном Леґерра степеня n також можна визначити за допомогою формули  L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!}

Також виконуються рекурентні співвідношення:

L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y),

Зокрема

L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) і L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x), або L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);

Приклади[ред.ред. код]

Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:

 L_0^{(\alpha)} (x) = 1
 L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1
 L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}
 L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}


Ортогональність[ред.ред. код]

Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з нормою xα e −x:

\int_0^{\infty}x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{n,m},

Для звичайний поліномів Лаґерра виконується рівність:

\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.


Література[ред.ред. код]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.