Поліноміальна теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поліноміальна теорема - це узагальнення бінома Ньютона:

(x_1+x_2+\dots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}.

Числа {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} називаються поліноміальними (мультиноміальними) коефіцієнтами. Їх визначено для всіх цілих невід’ємних чисел n і k_1, k_2, \dots, k_m таких, що k_1+k_2+\dots+k_m=n:

{n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}.

Біноміальний коефіцієнт {n\choose k} для невід’ємних n,k є частковим випадком мультиноміального коефіцієнта (для m=2), а саме

{n\choose k} = {n\choose k,\ n-k}.


В комбінаторному сенсі мультиноміальний коефіцієнт {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} дорівнює числу впорядкованих розбиттів n-елементарної множини на m підмножини потужностей k_1, k_2, \dots, k_m.

Властивості[ред.ред. код]

\sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = m^n

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Карнаух Т.О. Комбінаторика