Клас складності P

Клас складності P (англ. Complexity class P) — клас задач, що можна розв'язати алгоритмами з поліноміальним часом.

Формальне визначення

Алгоритмом з поліноміальним часом називається такий алгоритм, час роботи якого (тобто, кількість елементарних двійкових операцій, необхідних для його виконання на детермінованій машині Тюринга) на вхідному рядку довжиною $l$ обмежено згори деяким поліномом $P(l)$.

Задачі, що можна розв'язати алгоритмом з поліноміальним часом належать до класу задач складності P.

Машини Тюринга

Машина Тюринга $M$ має часову складність (або час роботи) $T(n)$, якщо для довільного входу $w$ довжини $n$, не залежно від результату машина $M$ зупиниться після виконання щонайбільше $T(n)$ кроків.

Деяка мова $L$ належить до класу складності P, якщо існує поліноміальне $T(n)$ таке, що мова $L$ розпізнається деякою детермінованою машиною Тюринга $M$ ($L=L(M)$) з часовою складністю $T(n)$.

Практичне значення

Оскільки часто доводиться обчислювати значення функцій на вхідних даних великого обсягу, знаходження поліноміальних алгоритмів для обчислення функцій є дуже важливим завданням. Вважається, що обчислювати функції, які не лежать у класі $P$, помітно складніше, ніж лежать. Більшість алгоритмів, що лежать в класі $P$, мають складність, яка не перевершує многочлен в невеликій мірі від розміру вхідних даних.

Вужче визначення

Іноді під класом P мають на увазі вужчий клас функцій, а саме клас предикатів (функцій $f:\Sigma ^{*}\to \{0,\,1\}$). Тоді мова $L$, що розпізнає даний предикат, називається множиною слів, де предикат дорівнює 1. Мовами класу P називаються мови, для яких існують розпізнавальні їх предикати класу P. Очевидно, якщо мови $L_{1}$і $L_{2}$ лежать у класі P, то і їх об'єднання, перетин та доповнення також лежать в класі P^{[джерело?]}.

Включення класу P в інші класи

Клас P є одним з найвужчих класів складності. Алгоритми, що належать йому, належать також класу NP, класу BPP (як допускають поліноміальну реалізацію з нульовою помилкою), класу PSPACE (т. к. зона роботи на машині Тюрінга завжди менше часу), класу P/Poly (для доказу цього факту використовується поняття протоколу роботи машини, який переробляється в булеву схему поліноміального розміру)^{[джерело?]}.

Вже більше 30 років залишається невирішеною задача про рівність класів P і NP. Якщо вони рівні, то будь-яке завдання з класу NP можна буде вирішити швидко (за поліноміальний час). Однак наукове товариство схиляється в бік негативної відповіді на це питання. Крім того, не доведено і строгість включення до ширших класів, наприклад, в PSPACE, але рівність P і PSPACE виглядає нині дуже сумнівно.

Приклади

• Стандартний алгоритм множення матриць вимагає n³ операцій множення (хоча існують більш швидкі алгоритми, які теж мають поліноміальну швидкість, як, наприклад, алгоритм Штрассена).
• Степінь многочлена рідко буває великим. Один з таких випадків — запропонований в 2002 індійськими математиками тест Агравала — Каяла — Сакса, який з'ясовує, чи є число n простим, за O(log⁶n) операцій.

Завдання, приналежність яких класу P невідома

Існує багато задач, для яких не знайдено поліноміального алгоритму, але не доведено, що його не існує. Відповідно, невідомо, належать такі завдання класу $P$. Ось деякі з них:

• Задача комівояжера (а також всі інші $NP$-повні задачі). Поліноміальне розв'язання цієї задачі рівносильне встановленню рівності класів P і NP
• Розкладання числа на прості множники
• Дискретне логарифмування в скінченному полі
• Задача про приховану підгрупу з $n$ твірними
• Дискретне логарифмування в адитивній групі точок еліптичної кривої

Див. також

• Клас складності NP
• NP-складна задача
• NP-повна задача