Порядок (теорія груп)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії груп, термін порядок використовується у двох тісно пов'язаних значеннях:

Порядок групи G позначається Ord (G) (а також | G |, # G, R (G)),порядок елемента aOrd (a).

Приклад[ред.ред. код]

Симетрична група S3, містить всі перестановки множини з трьох елементів. Його таблиця Келі має такий вигляд:

e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

Ця група складається з шести елементів, тож Ord (S3) = 6. За визначенням, порядок одиничного елемента E рівна 1. Елементи, s,t і w в квадраті рівні Е, отже їх порядок дорівнює 2. Порядок елементів U і V рівний 3.

Властивості[ред.ред. код]

  • Два визначення пов'язані таким чином: якщо ми визначимо
\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \}

підгрупу, породжену елементом a, то

\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).

Тож можна дати еквівалентне визначення порядку елемента, як порядку найменшої групи, що містить даний елемент.

  • Група порядку 1 називається тривіальною групою. Якщо елемент групи має порядок 1, він є одиничним. Якщо кожен елемент групи G окрім одиничного має порядок 2, то G є абелевою групою: ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = ba. Зворотне твердження невірне, бо, наприклад, циклічна група Z6 є комутативною групою, але наприклад елемент 2 має порядок 3 (2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6)).
  • Для будь-якого a , ak = e, якщо і тільки якщо ord (a) ділить k.
  • Порядок будь-якої підгрупи групи G ділить порядок G, так що порядок будь-якого елементу в групі є дільником порядку групи.
  • У конкретному випадку існує зворотна теорема: якщо G скінченна група, число d є простим і ділить порядок групи G , то у групі G існує елемент порядку d.
  • Якщо порядок елемента a є нескінченним, то порядок кожного степеня a, є також нескінченним. Якщо порядок a скінченний, то виконується рівність:
Ord(ak)=Ord(a)/НСД(Ord (a), k)

Джерела[ред.ред. код]