Послідовність Люка

В математиці, послідовностями Люка називають сімейство пар лінійних рекурентних послідовностей другого порядку, вперше розглянутих Едуардом Люка.

Послідовності Люка являють собою пари послідовностей $\{U_n(P,Q)\}$ и $\{V_n(P,Q)\}$, що задовольняють одному і тому ж рекурентному співвідношенню з коефіцієнтами P і Q:

$U_0(P,Q) = 0,\quad U_1(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q) - Q\cdot U_n(P,Q),\,n\geq 0$

$V_0(P,Q) = 2,\quad V_1(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q) - Q\cdot V_n(P,Q),\,n\geq 0$

Приклади

Деякі послідовності Люка носять власні імена:

• $\{ U_n (1, -1) \}$ - числа Фібоначчі
• $\{ V_n (1, -1) \}$ - числа Люка
• $\{ U_n (2, -1) \}$ - числа Пелля
• $\{ V_n (2, -1) \}$ - числа Пелля-Люка
• $\{ U_n (3,2) \}$ - числа Мерсенна
• $\{ U_n (1, -2) \}$ - числа Якобшталя

Явні формули

Характеристичним многочленом послідовностей Люка $\{U_n(P,Q)\}$ та $\{V_n(P,Q)\}$ є:

$x^2 - P\cdot x + Q$

Його дискримінант $D = P^2 - 4Q$ вважається не рівним нулю. Корені характеристичного многочлена

$\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2}$ и $\beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}$

можна використовувати для отримання явних формул:

$U_n(P,Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}$

та

$V_n(P,Q) = \alpha^n + \beta^n.~$

Властивості

…