Послідовність Люка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, послідовностями Люка називають сімейство пар лінійних рекурентних послідовностей другого порядку, вперше розглянутих Едуардом Люка.

Послідовності Люка являють собою пари послідовностей \{U_n(P,Q)\} и \{V_n(P,Q)\}, що задовольняють одному і тому ж рекурентному співвідношенню з коефіцієнтами P і Q:

U_0(P,Q) = 0,\quad U_1(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q) - Q\cdot U_n(P,Q),\,n\geq 0
V_0(P,Q) = 2,\quad V_1(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q) - Q\cdot V_n(P,Q),\,n\geq 0

Приклади[ред.ред. код]

Деякі послідовності Люка носять власні імена:

Явні формули[ред.ред. код]

Характеристичним многочленом послідовностей Люка \{U_n(P,Q)\} та \{V_n(P,Q)\} є:

x^2 - P\cdot x + Q

Його дискримінант D = P^2 - 4Q вважається не рівним нулю. Корені характеристичного многочлена

\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} и \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}

можна використовувати для отримання явних формул:

U_n(P,Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}

та

V_n(P,Q) = \alpha^n + \beta^n.~

Властивості[ред.ред. код]