Потенціальне векторне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля.

У фізиці, що має справу з силовими полями математичну умову потенційності силового поля можна представити як вимогу рівності нулю роботи при переміщенні частинки, на яку діє поле, по замкнутому контуру. Як потенціал поля в цьому випадку можна вибрати роботу з переміщення пробної частинки з деякої довільно вибраної початкової точки в задану точку (за визначенням, ця робота не залежить від шляху переміщення). Наприклад, потенційними є статичне електричне поле, а також гравітаційне поле в ньютоновій теорії гравітації.



Нехай у n-вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат u^1, u^2, \dots u^n і потенціальне векторне поле \mathbf{a} з коваріантними координатами a_i, яке представляється градієнтом скалярного потенціалу \phi = \phi(u^1, u^2, \dots u^n):

(1) \qquad a_i = \nabla_i \phi = {\partial \phi \over \partial u^i}

Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля:

(2)\qquad (\text{rot} \, \mathbf{a})_{ij} = \nabla_i a_j - \nabla_j a_i = 0

Необхідність[ред.ред. код]

Якщо поле \mathbf{a} потенціальне, тобто виконується рівність (1), то при підстановці (1) в (2) одержуємо:

(2)\qquad (\text{rot} \, \mathbf{a})_{ij} = (\partial_i a_j - \Gamma_{ij}^k a_k) -
(\partial_j a_i - \Gamma_{ji}^k a_k) = \partial_i a_j - \partial_j a_i = {\partial^2 \phi \over \partial u^i \partial u^j} - {\partial^2 \phi \over \partial u^j \partial u^i}

Але остання різниця дорівнює нулю в силу рівності мішаних похідних.


Достатність[ред.ред. код]

Нехай тепер у нас задано таке векторне поле, що його ротор скрізь дорівнює нулю, тобто справедлива рівність (2). Спробуємо побудувати для цього векторного поля такий скаляр \phi, щоб виконувалась рівність (1).

Почнемо з розгляду властивості криволінійних інтегралів. Нехай ми маємо у многовиді криву L, яка сполучає дві фіксовані точки P і Q. Криволінійний інтеграл \Phi є функціоналом від кривої L:

(3) \qquad \Phi = \Phi(L) = \int_L a_i d u^i

Обчислення варіації цього функціонала, проведені в статті Теорема Стокса дають:

(4) \qquad \delta \Phi = \int \sum_{i < j} (\text{rot} \, \mathbf{a})_{ji} \, d \sigma^{ij} = 0

Оскільки ротор за умовою скрізь дорівнює нулю, то і варіація функціонала (3) теж дорівнює нулю — отже цей функціонал є константою, яка на залежить від кривої (при фіксованих кінцях кривої P і Q). Отже криволінійний інтеграл (3) є просто функцією від двох точок — кінців кривої L:

(5) \qquad \Phi = \Phi(P, Q)

Зафіксуємо одну із точок многовиду, нехай для визначеності, це буде початок системи координат O, тоді ми матимемо таке скалярне поле:

(6) \qquad \phi = \phi(P) = \Phi(O, P)

Нам тепер треба лише показати, що градієнт цього поля дорівнює \mathbf{a}.
Розглянемо дві близькі точки P і \tilde P. Проведемо з початку координат криву L до точки P, а потім продовжимо цю криву коротким відрізком \Delta L, що іде від точки P до точки P'. Продовжена крива \tilde L = L + \Delta L сполучає початок координат з точкою \tilde P. Отже:

(7) \qquad \phi(\tilde P) = \Phi(O, P) + \Phi(P, \tilde P) = \phi(P) + \int_{\Delta L} a_i d u^i

і ми можемо записати приріст функції \phi через інтеграл по відрізку:

(8) \qquad \Delta \phi = \int_{\Delta L} \sum_{i=1}^n a_i d u^i

Розглянемо координати точки P = (u^1, u^2, \dots u^n). Нехай точка \tilde P відрізняється від неї лише однією (хай першою) координатою \tilde P = (u^1 + \Delta u^1, u^2, \dots u^n), а решта координат зафіксовані. Тоді в інтегралі (8) (по відрізку вздовж першої координати) буде відмінний від нуля лише диференціал першої координати d u^1 і ми одержимо простий визначений інтеграл

(9) \qquad \Delta \phi = \int_{u^1}^{u^1+\Delta u^1} a_1 d u^1 \approx a_1 \Delta u^1

Поділивши асимптотичну рівність (9) на \Delta u^1 і переходячи до границі, маємо:

(10) \qquad {\partial \phi \over \partial u^1} = a_1

і аналогічно для решти координат. Формулу (1) доведено.