Потенціал Пешля-Теллера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Потенціа́л Пешля — Теллера (англ. Pöschl–Teller potential) — це спеціальний вид потенціалів в математичній, квантовій, та молекулярній фізиці, для яких існують точні розв'язки одномірного рівняння Шредінгера у вигляді спеціальних функцій. Потенціал названий в честь угорських фізиків Герти Пешль (Herta Pöschl) та Едварда Теллера (Edward Teller)

Визначення[ред.ред. код]

Потенціал Пешля-Теллера задається у вигляді


U(x) =-\frac{\lambda(\lambda+1)}{2}\mathrm{sech}^2(x)

При підстановці потенціалу в одновимірне рівняння Шредінгера


-\frac{1}{2}\psi''(x)+ U(x)\psi(x)=E\psi(x)

за допомогою підстановки u=\mathrm{tanh(x)} отримують


\left[(1-u^2)\psi'(u)\right]'+\lambda(\lambda+1)\psi(u)+\frac{2E}{1-u^2}\psi(u)=0
.

Розв'язком для зв'язаних станів \psi(\mathrm{tanh(x)}) будуть функції Лежандра P_\lambda^\mu(\mathrm{tanh(x)}), та значення енергії E_{\lambda,\mu}=\frac{-\mu^2}{2}, де \lambda=1,2,3,\ldots\, , \mu=\lambda, \lambda-1, \ldots, 1. Більш того, можна точно обчислити і розсіювання частинки на такому потенціалі, тоді для енергій частинки E_{\lambda,k}=-\frac{k^{2}}{2}
отримаємо аналітичні вирази для хвильових функцій. В тривіальному випадку для \lambda=0 отримуємо плоску хвилю \psi_{0,k}^{+}=\exp(ikx).

Два наступні вирази для \lambda=1,2 запишуться як


\psi_{1,k}^{+}=\left(1+\frac{i}{k}\tanh(x)\right)\exp(ikx)
.

\psi_{2,k}^{+}=\left(1+k^{2}\right)^{-1}\left(1+k^{2}+3ik\tanh(x)-3\tanh^{2}(x)\right)\exp(ikx)
.

Це відображає хвилі, що поширюються зліва направо. Дуже цікавою особливістю потенціалів Пешля-Теллера є те, що для цілих значень \lambda хвильові функції не розсіюються на потенціальному бар'єрі, тобто ці потенціали в таких випадках є на 100 % прозорими: коефіцієнт проникнення T=1, a відбиття R=0.

Див. також[ред.ред. код]

Потенціал Морзе

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • G. Pöschl, E. Teller Bemerkungen zur Quantenmechanik des Anharmonischen Oszillators 83 (1933) С. 143–151. DOI:10.1007/BF01331132.