Поточкова збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поточкова збіжність — один з видів збіжності послідовності функцій, в якому кожній точці області визначення ставиться у відповідність границя послідовності значень функцій в цій точці.
Функція, визначена таким чином називається поточковою границею, при цьому кажуть що послідовність функцій збігається до граничної поточково.
Поняття поточкової збіжності природно переноситься на функціональні ряди.

Означення[ред.ред. код]

Нехай \left\{f_n\right\} — послідовність функцій
f_n:X\rightarrow Y
де Y — лінійний нормований простір. Тоді послідовність \left\{f_n\right\} збігається поточково до
f:X\rightarrow Y
якщо
\forall x\in X \lim_{n \to \infty}f_n (x) = f(x)

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо поточкова границя існує, то вона єдина.
  • Якщо послідовність функцій збігається рівномірно, то вона збігається і поточково, причому їх границі співпадають.
  • Поточкова границя послідовності вимірних функцій — вимірна. Крім того, множина вимірних функцій — це найменша алгебра функцій замкнена відносно операції поточкової границі, що містить множину неперервних функцій.
  • Поточкова границя послідовності неперервних функцій не може бути всюди розривна. Тому функція Діріхле не є поточковою границею послідовності неперервних функцій.
  • Поточкова границя послідовності неперервних функцій може бути розривною. Наприклад,

\lim_{n \to \infty}x^n= \begin{cases} 0, & x\in [0,1) \\ 1, & x=1 \end{cases}

Топологія[ред.ред. код]

Не існує топології на множині функцій, такої що поточкова збіжність функцій еквівалентна збіжності в цій топології.

Доведемо це від супротивного. Дійсно, нехай така топологія існує. Розглянемо множину неперервних функцій і її замикання в цій топології. Це замикання містить всі поточкові границі неперервних функцій. Воно не містить функцію Діріхле, бо поточкова границя неперервних функцій не може бути всюди розривна. З іншого боку, з цих функцій можна утворити послідовність, яка збігається поточково до функції Діріхле. Це суперечить тому що замикання множини в топологічному просторі є замкненим.

Доведення завершене.

Поточкова збіжність у просторах оснащених мірою[ред.ред. код]

У вимірних просторах вводиться поняття збіжності майже всюди — поточкова збіжність в усьому просторі, крім, можливо, множини міри 0. Теорема Єгорова стверджує, що з поточкової збіжності на множині скінченної міри випливає рівномірна збіжність на множині міри, що як завгодно мало відрізняється від міри всього простору.

Див. також[ред.ред. код]