Потік Стокса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Об'єкт, що рухається через a газ або рідину знаходиться під дією сили в напрямку, протилежному його руху. Кінцева швидкість досягається тоді, коли сила опору дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком до сили що приводить в рух об'єкт. Показана сфера в потоці Стокса, при дуже низькому числі Рейнольдса.

Потік Стокса (названий в честь Джорджа Габріеля Стокса), або ж повзучий потік чи повзучий рух,[1] — це тип потік рідини, де адвективні інерційні сили малі порівняно з в'язкими силами.[2] Число Рейнольдса при цьому мале, тобто \textit{Re} \ll 1. Це типова ситуація в потоках, де швидкості рідини є дуже малою, в'язкості дуже великі, або довжина/масштаби течії дуже малі. Повзучий потік був вперше досліджений, для розуміння процесу змащування. У природі цей тип потоку зустрічається в плавані мікроорганізмів і сперми[3], і потоці лави. У техніці це відбувається в фарбах, MEMS-пристроях і в потоці в'язких полімерах загалом.

Рівняння руху для потоку Стокса, які називаються рівняннями Стокса є лінеаризацією рівнянь Нав'є-Стокса, і отже, можуть бути розв'язані багатьма добре відомими методами для лінійних диференціальних рівнянь.[4] Основна функція Гріна потоку Стокса називається Stokeslet, її пов'язують з сингулярною точковою силою задіяною в потоці Стокса. Інші фундаментальні розв'язки можуть бути отримані з її похідних.[5]

Рівняння Стокса[ред.ред. код]

Рівняння руху для потоку Стокса може бути отримане з лінеаризації рівнянь Нав'є-Стокса для стаціонарного стану. Припускається, що інерціальні сили є нехтовно малими в рівнянні балансу імпусу серед рівнянь Нав'є-Стокса, що приводить до спрощення цих рівнянь до рівнянь Стокса:[1]

\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbb{P} + \mathbf{f} = 0

де \scriptstyle \mathbb{P} це тензор механічних напружень що відображає в'язкі та тискові напруження,[6][7], а \scriptstyle \mathbf{f} сила прикладена до тіла. Повні рівняння Стокса включають також рівняння збереження маси яке часто записують у формі:

 \frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{u} = 0

де \scriptstyle \rho це густина флюїду, \scriptstyle \mathbf{u} це швидкість флюїду, а \scriptstyle \frac{D}{Dt} це похідна Лагранжа. Щоб отримати рівняння руху для нестискаємого потоку, припускають, що густина \scriptstyle \rho є сталою величиною.

Властивості[ред.ред. код]

Рівняння Стокса репрезентують собою значне спрощення повної системи рівнянь Нав'є-Стокса, особливо в нестискуваному ньютоновому випадку.[2][4][6][7] Вони є спрощеням лідируючого порядку, дійсним в відміченій границі Re \to 0.

Миттєвість

Потік Стокса не залежить від час окрім випадку часово-залежних крайових умов. Це означає, що задавши крайові умови для потоку Стокса, сам потік можна знайти не знаючи його ні в який момент часу.

Часова оборотність

Це наслідок попердньої властивості. Часова обортність означає що часово-обернений потік Стокса є розв'язом тих самих рівнянь як і звичайни потік. Цю властивість деколи використовують (в спряжці з лінійністю і симетрією в граничних умовах) що вивести деякі результати щодо потоку не розв'язуючи рівняння. Часова оберненість означає що буде важко змішати дві рідини використовуючи такий повзучий потік.

Ці властивості притаманні нестискаємому нютоновому потоку Стокса, для нелінійної і деколи часово-залежної природи неньютонівських рідин вони в загальному випадку не виконуються.

Парадокс Стокса

Цікава властивість потоку Стокса відома як парадокс Стокса: полягає в тому що не існує потоку Стокса навколо диску в двох вимірах, або еквівалентно, не існує не-тривіального розв'язку рівнянь Стокса навколо нескінченно довгого циліндру.[8]

Демонстрація часової оборотності[ред.ред. код]

Система Тейлора-Куетта може створювати спіральні ламінарні потоки.[9] Два флюїди з дуже різними в'язкостями (і отже дуже низьким числом Рейнольдса) створюють спіральний ламінарний потік який може бути згодом повернений в приблизно початковий стан. Це створює неймовірну демонстрацію, наче дві рідини що змішалися легко розмішються знов на дві окремі просто зміную напрямку змішувача на протилежний.[10][11][12]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Kim, S. & Karrila, S. J. (2005) Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications, Dover. ISBN 0-486-44219-5.
  2. а б Kirby, B.J. (2010). Micro-and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices.. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0. 
  3. Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale. Harvard University Press, Cambridge, Mass. ISBN 978-0-674-03116-6.
  4. а б Leal, L.G. (2007). Advanced Transport Phenomena:Fluid Mechanics and Convective Transport Processes. 
  5. Chwang, A. and Wu, T. (1974). "Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flows". J. Fluid Mech. 62(6), part 4, 787–815.
  6. а б Batchelor, G. K. (2000). Introduction to Fluid Mechanics. 
  7. а б Happel, J. & Brenner, H. (1981) Low Reynolds Number Hydrodynamics, Springer. ISBN 90-01-37115-9.
  8. Lamb, Horace (1945). Hydrodynamics (вид. Sixth). New York: Dover Publications. с. 602–604. 
  9. C. David Andereck, S. S. Liu and Harry L. Swinney (1986). Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders. Journal of Fluid Mechanics, 164, pp 155–183 doi:10.1017/S0022112086002513
  10. Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale, pp.46. Harvard University Press, Cambridge, Mass. ISBN 978-0-674-03116-6.
  11. http://www.youtube.com/watch?v=p08_KlTKP50&feature=related
  12. http://panda.unm.edu/flash/viscosity.phtml