Потік векторного поля

В математиці, термін потік векторного поля використовується для двох різних понять:

---

1. Потік векторного поля через гіперповерхню — поверхневий інтеграл другого роду на поверхні $S$. За означенням

$\Phi _{F}=\iint\limits_{S}{(\mathbf{F},\mathbf{n})dS}$

де $\mathbf{F} = \mathbf{F(X)} = \{F_{x}(\mathbf{X}),F_{y}(\mathbf{X}),F_{z}(\mathbf{X})\}$ — векторне поле (чи вектор-функція векторного аргументу — точки простору), $\mathbf{n}$ — одиничний вектор додатної нормалі до поверхні (додатній напрям обирається для орієнтованої поверхі умовно, але однаково для всіх точок — тобто для диференційовної поверхні — так, щоб $\mathbf{n}$ був неперервним; для неорієнтованої поверхні це не важливо, оскільки потік через неї завжди дорівнює нулю), $dS$ — інфінітозимальний елемент поверхні. В фізиці іноді застосовують позначення

$d\mathbf{S}=\mathbf{n}dS$

тоді потік записується у вигляді

$\Phi _{F}=\iint\limits_{S}{(\mathbf{F},d\mathbf{S})} = \iint\limits_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$

Потік вектора напруженості Ф через площадку ds - кількість силових ліній, що пронизують цю площадку ds.

Фізична інтерпретація

Нехай рух нестисливої рідини одиничної густини задано векторним полем швидкості $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z)$. Тоді маса рідини, що протече за одиницю часу через поверхню $S$ буде дорівнювати потоку векторного поля $\mathbf{v}$ через поверхню $S$.

Див. також

• Формула Остроградського
• Векторна трубка

---

2. Потік векторного поля $\vec A$ — однопараметрична родина дифеоморфізмів $\Gamma_t$, що визначаються диференційним рівнянням

$d\Gamma_t(x)/dt=\vec A(\Gamma_t(x)).$

Джерела

• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. — Москва : Наука, 1969.