Похідна Фреше

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Похідна́ Фреше́ — узагальнення поняття похідної на випадок нормованих просторів. Названа на честь французького математика Моріса Фреше.

Нехай X та Y — лінійні нормовані простори, а G — відкрита множина простору X. Відображення (функція, оператор) f:G \rightarrow Y називається диференційовним за Фреше в точці x \in G, якщо існує лінійний неперервний оператор L_x: X \rightarrow Y, такий що для довільного h \in X, що задовольняє умові x+h \in G

\Delta f = f(x+h)-f(x)=L_x h+\omega(x,h),

де \frac{\omega(x,h)}{\parallel h\parallel} \rightarrow 0 при h \rightarrow 0 в розумінні збіжності по нормі в просторі Y.

Головна частина L_x h, що лінійно залежить від h та приросту \Delta f називається диференціалом Фреше відображення f в точці х і позначається df(x, h), а вираз \omega (x, h) називається залишком приросту.

Лінійний оператор L_x називається похідною Фреше відображення f в точці х і позначається f^'(x).

Властивості[ред.ред. код]

Нехай f,g:G \rightarrow Y — відображення нормованих просторів і \in G. Похідна Фреше задовольняє такі властивості:

  • (f+g)'(\varphi)=A'(\varphi)+B'(\varphi)
  • (\lambda f)'(\varphi)=\lambda f'(\varphi), де λ — деякий скаляр з поля над яким визначені нормовані простори.
  • (f\circ g)'(\varphi)=(f'\circ g)(\varphi)\, g'(\varphi).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Фреше производная. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5. Советская энциклопедия, 1984.